第5章 导数及其应用（单元培优卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第5章 导数及其应用（单元培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．函数的导数　　． 2．函数的驻点（使得导数为零的自变量的值）为 　　． 3．已知曲线在处的切线为，则过点且与切线垂直的直线方程为 　　． 4．若函数在，上为严格增函数，则实数的取值范围为 　　． 5．函数在处的切线方程为 　　． 6．已知函数，，如果对任意的，都有成立，则实数的取值范围是　 　． 7．已知函数在处有极值0，则　　． 8．若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为 　　． 9．对于函数，在处取极值，且该函数为奇函数，求　　． 10．已知函数，若存在，，使得，则的最小值是 　　． 11．已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的序号为 　　． ①的严格减区间是 ②的极小值是 ③当时，对任意的且，恒有（a）（a） 12．若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．已知函数在处有极小值，则实数的值为　　 A．2 B．2或6 C．6 D．4或6 14．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 15．设定义在上的函数，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 16．已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是　　 A．当时，可作两条切线，则的值为 B．当，时，可作两条切线 C．当，时，有且仅有一条切线 D．当时，可作三条切线，则 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知，． （1）求函数的单调区间； （2）容易证明对任意的都成立，若点的坐标为，、为函数图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：； （3）数列满足，，证明：． 18．已知函数．（其中为常数） （1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程； （2）当时，判断函数是否存在零点？如果存在，求出零点的个数； （3）当且时，试讨论函数的单调区间和极值． 19．已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若，时恒成立，求实数的取值范围． （3）定义函数，对于数列、，若，，则称为函数的“生成数列”， 为函数的一个“源数列”． ①已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知，为函数的“生成数列”， 为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 20．已知函数f（x）＝ex+2e﹣x+a． （1）若直线y＝x+3是曲线y＝f（x）的切线，求实数a的值； （2）若f（x）≥x2﹣x+1对任意实数x恒成立，求a的取值范围； （3）若，且f（x1）•f（x2）≥3（x1+x2+k），求实数k的最大值． 21．若函数满足：对任意，，，都有，则称函数具有性质． （1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）设函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 导数及其应用（单元培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．函数的导数　　． 【分析】结合基本初等函数的求导公式即可求解． 【解答】解：的导数． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题． 2．函数的驻点（使得导数为零的自变量的值）为 　或　． 【分析】利用驻点的定义即可求出结果． 【解答】解：因为，则，令，即，解得或， 所以驻点为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题． 3．已知曲线在处的切线为，则过点且与切线垂直的直线方程为 　　． 【分析】求得，得到切线的斜率，进而求得所求直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解． 【解答】解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以所求直线的斜率为1，其方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 4．若函数在，上为严格增函数，则实数的取值范围为 　，　． 【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系分离参数，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解． 【解答】解：因为在，上为严格增函数， 所以在，上恒成立， 当或时，为任意实数， 当时，恒成立