第4章 数列（单元培优卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第4章 数列（单元培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．无穷等比数列满足，则首项的取值范围是 　　． 2．等比数列前项和，则　　． 3．设等差数列的各项都是正数，前项和为，公差为．若数列也是公差为的等差数列，则的通项公式为　 　． 4．已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 　　． 5．用数学归纳法证明等式时，从到时，等式左边需要增加的项是　 　． 6．在等差数列中，已知，，则数列的前项和的最大值为 　　． 7．已知，，函数的图象与轴相交于点、与函数的图象相交于点，△的面积为为坐标原点），则　　． 8．在数列中，对任意，，当且仅当，，若满足，则的最小值为 　　． 9．在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为　　． 10．在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为　　． 11．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为 　　尺． 12．已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，，将，，依次顺时针排列，求，　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．设是等差数列的前项和，若对任意，恒成立，则这样的等差数列有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．已知等差数列的公差，若的前9项之和大于前20项之和，则　　 A． B． C． D． 15．已知数列的前项和为，且对任意正整数都有，则下列关于的论断中正确的是　　 A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．可能是等差数列，但不会是等比数列 D．可能是等比数列，但不会是等差数列 16．已知是等差数列，，存在正整数，使得，．若集合，中只含有4个元素，则的可能取值有　　个 A．2 B．3 C．4 D．5 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列、的通项公式． 18．若数列是等差数列，则称数列为调和数列．若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项． （1）求和1的调和中项； （2）已知调和数列，，，求的通项公式． 19．已知数列的前项和， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前多少项和最大． 20．已知是以为首项，为公比的等比数列，为它的前项和． （Ⅰ）当，，成等差数列时，求的值； （Ⅱ）当，，成等差数列时，求证：对任意自然数，，，也成等差数列． 21．函数的表达式为． （1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； （2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，，，，，证明：数列是严格减数列； （3）已知定义在上的奇函数满足，对任意，，当时，都有（a）且（a）． 记，． 当时，是否存在、，使得成立？若存在，求出符合题意的、；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 数列（单元培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．无穷等比数列满足，则首项的取值范围是 　，，　． 【分析】利用无穷等比数列极限公式计算即可． 【解答】解：依题意：，且，，， ，，， 则，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．等比数列前项和，则　　． 【分析】可根据求得数列的通项公式，进而求得，再根据求得． 【解答】解：，，， ， 又，由通项得：，公比为3， ， ． 故答案为： 【点评】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列的前项和公式．解题的关键是求出数列的通项公式． 3．设等差数列的各项都是正数，前项和为，公差为．若数列也是公差为的等差数列，则的通项公式为　　． 【分析】由题意可得：．，化简时可得：．分别令，3，解出即可得出． 【解答】解：由题意可得：．． ，可得：． ． 时可得：． 分别令，3，可得：，． 解得，． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 　15