第3章 空间向量及其应用（单元提升卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第3章 空间向量及其应用（单元提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则其母线与底面所成角的余弦值为 　　． 2．已知向量，则向量的坐标为 　　． 3．在四面体中，二面角、、的大小相等，则点在平面上的投影是的 　　心． 4．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积　　． 5．若平面的法向量，0，，直线的方向向量为，1，，则与所成角的大小为 　　． 6．已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为 　　． 7．已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的 　　条件．（填充分性和必要性） 8．如图，正方体的棱长为2，，分别为，的中点，是底面上一点．若平面，则与平面成角的正弦值的取值范围是 　　． 9．在中，，，若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 　　． 10．设直线与平面所成角为，给出下列命题：（1）平面上不存在直线，使之与所成角小于；（2）设，平面上恰有两条直线与所成角均为；（3）若直线，则直线与所成角大小为；其中真命题的序号为 　　． 11．已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 　　． 12．如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则线段的长为 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．已知四面体，是的重心，若，则　　 A．4 B． C． D． 14．若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是　　 A．， B．， C．， D．， 15．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，，2，，是上底面上其余的八个点，则集合，，2，3，，中的元素个数　　 A．1 B．2 C．4 D．8 16．三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是　　 ①三棱锥的体积为； ②点形成的轨迹长度为 A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知． （1）求与夹角的大小； （2）若，求实数的值． 18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点． （1）设平面与直线相交于点，求证：； （2）若，，，求直线与平面所成角的大小． 19．三棱柱中，，．设，，． （1）试用，，表示向量； （2）若，，求的长． 20．已知、分别是正方体的棱、的中点，求： （1）与所成角的大小； （2）二面角的大小； （3）点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由． 21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若，， 求二面角的余弦值； 在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 空间向量及其应用（单元提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则其母线与底面所成角的余弦值为 　　． 【分析】设母线长为，底面半径为，利用侧面展开图，求出圆心角，然后求出底面半径，即可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值． 【解答】解：设母线长为，底面半径为， 由， ， 因此所求角的余弦值即为． 故答案为：． 【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，扇形的知识，圆锥的母线与底面所成的角，考查计算能力，属基础题． 2．已知向量，则向量的坐标为 　，0，　． 【分析】根据向量坐标运算法则即可求解． 【解答】解：由题意可知， ． 故答案为：，0，． 【点评】本题考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．在四面体中，二面角、、的大小相等，则点在平面上的投影是的 　内　心． 【分析】根据三个二面角相等得到点在底面的投影到三角形三边的距离相等，即可得到点在平面上的投影是的内心． 【解答】解：因为二面角、、的大小相等， 所以顶点在底面的投影到三角形三边的距离相等，所以点在平面上的投影是的内心． 故答案为：内心． 【点评】本题考查二面角的定义及其运用，属于基础题． 4．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积　　． 【分析】根据向量的线性运算求出，，的值，求积即可．