专题03 空间向量及其应用（知识&考点&公式&8高频&4易错&3重难&4模型，期中知识清单）高二数学上学期沪教版

专题03 空间向量及其应用 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点1 空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 共线向量定理推论：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 共面向量定理推论：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． （3）空间向量基本定理：如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 知识点2 空间向量的数量积 （1）空间两个向量的夹角的定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量的夹角，记，注意：共起点找夹角 范围：，其中，当，； 或 (为非零向量) （2）空间向量的数量积：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 （3）数量积的运算：①，；②(交换律)； ③ (分配律). 知识点3 空间向量的坐标表示 设，，则有以下运算： ①数量积： ② ③（均非零向量） ④ ⑤ 知识点4 直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量:如图,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 （2）平面法向量的概念：如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． （3）平面的法向量的求法： 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: ①设向量：设平面的法向量为 ；②选向量：选取两不共线向量 ③列方程组：由列出方程组； ④解方程组：解方程组 ⑤赋非零值：取其中一个为非零值（常取)； ⑥得结论：得到平面的一个法向量. 知识点5 空间位置关系的坐标表示 空间中直线、平面的平行与垂直 设直线,的方向向量分别为,,平面,的法向量分别为，，则 ①线线平行：⇔⇔() ②线面平行：⇔⇔ ③面面平行：⇔⇔； ④线线垂直：⇔ ⑤线面垂直：⇔⇔ ⑥面面垂直：⇔⇔ 知识点6 空间角的向量求法 （1）异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： 第一步：；第二步： （2）直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则第一步：；第二步：. （3）平面与平面所成角（二面角） 设，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小，则 第一步：； 第二步：若二面角为锐二面角，则； 若二面角为钝二面角，则； 知识点7 空间距离的向量求法 （1）点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 （2）点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则 （3）线面距离与面面距离 距离求法：①首先确定直线与平面平行（平面与平面平行），然后可将问题转化成点到平面的距离问题 考点01空间向量的概念与线性运算 考点内容：空间向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量、共面向量；向量加减、数乘运算；共线向量定理、共面向量定理；四点共面条件。 常见考法： ①判断向量是否共线、共面，区分共线与共面向量； ②利用线性运算对向量进行分解、化简； ③利用共面向量定理证明四点共面； ④根据向量共线求参数的值。 考点02空间向量基本定理与基底 考点内容：空间向量基本定理；基底的条件（三个向量不共面）；基向量；空间向量唯一分解式。 常见考法： ①判断三个向量能否作为一组基底； ②把空间向量用选定基底进行线性表示； ③利用分解式求未知数； ④在几何体中选取合适基底简化运算。 考点03空间向量坐标运算与平行垂直判定 考点内容：空间直角坐标系；向量坐标（终点减起点）；坐标下加减、数乘、数量积；向量平行、垂直的坐标条件；向量模长公式。 常见考法： ①给出两点坐标，求出对应向量的坐标； ②利用坐标进行向量四则运算； ③用坐标判定两向量平行或垂直，求解参数； ④计算向量的模长与两向量夹角余弦值。 考点04向量法判定空间线面平行与垂直 考点内容：直线方向向量、平面法向量；线线、线面、面面平行与垂直的向量等价条件。 常见考法： ①求直线的方向向量与平面的法向量； ②用向量证明线线平行、线线垂直； ③证明线面平行（方向向量⊥法向量）； ④证明线面垂直、面面垂直（法向量数量积为0）。 考点05向量法求空间角（异面角、线面角、二面角） 考点内容：异面直线夹角、直线与平面所成角、二面角；向量夹角公式；角度取值范围；线面角与法向量夹角的转换关系。 常见考法： ①求异面直线夹角，结果取锐角或直角； ②利用方向向量与法向量求线面角，注意用正弦； ③求出两个平面法向量夹角，结合图形判断二面角是锐角还是钝角； ④根据二面角大小反求参数。 考点06向量法求空间距离 考点内容：点到平面距离公式；线面距离、面面距离转化为点面距离；向量投影。 常见考法： ①套用公式计算点到平面的距离； ②将直线到平面的距离转化为直线上任意一点到平面的距离； ③利用距离条件建立方程求解线段长度。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 向量数量积 两个非零向量的数量积等于模长乘积乘以夹角余弦，用于求夹角、判定垂直 2 向量平行（共线） 非零向量共线，一个向量是另一个向量的数乘；坐标对应成比例 3 向量垂直 两个非零向量垂直，数量积等于0，坐标乘积之和为0 4 向量模长 向量模长等于坐标平方和开根号，对应线段长度 5 异面直线夹角 夹角取锐角或直角，必须加绝对值 6 线面角 直线方向向量，平面法向量，线面角用正弦，加绝对值 7 二面角余弦 两平面法向量夹角，再结合图形判定二面角锐钝 8 点到平面距离 为平面内任意一点到该点的向量，为平面法向量 辨析01区分共线向量与异面直线对应的向量 空间任意两个向量都可以平移到同一平面，一定共面；异面直线的方向向量只是所在直线异面，向量本身依然是共面向量。只有三个向量才有可能不共面，不能把异面直线当成向量不共面。 辨析02区分基底向量与共面向量 构成基底的三个向量必须不共面；如果三个向量平行于同一个平面，就不能作为空间向量的一组基底。同一平面内的三条棱向量不能选作基底。 辨析03区分向量夹角与异面直线夹角 向量夹角范围是；异面直线夹角只能取锐角或直角，范围是。计算异面直线夹角时必须给余弦值加上绝对值，不能直接使用向量夹角。 辨析04区分线面角与方向向量和法向量的夹角 线面角；直线方向向量与平面法向量的夹角为，满足。很多同学直接套用余弦公式，把线面角算成法向量夹角，造成结果错误。 辨析05区分二面角与两个法向量的夹角 两个平面法向量的夹角可以是锐角或钝角；二面角可以与法向量夹角相等，也可以互补。只计算法向量夹角而不观察几何体图形，容易把二面角的正负搞反。 【题型一】空间向量的线性运算 例1．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以 变式1-1．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 结合知，. 变式1-2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 则. 变式1-3．在空间四边形中，已知点、分别是、的中点，且，，，用向量，，表示向量正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示：， 【题型二】空间共线向量定理 例2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 变式2-1．已知点、点，求线段AB的三等分点的坐标______ 【答案】或 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，计算可得. 【详解】设是线段的两个三等分点, 则, 由,则， 故， 则， 故. 故答案为：或. 变式2-2．已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】由于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 变式2-3．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 【题型三】空间共面向量定理 例3．已知，，，且不共面，共面，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理的推论求解. 【详解】由共面，且不共面， 存在实数使得， 即， 则，解得. 变式3-1．已知，，，是空间不共面的四点，点满足：，则（  ） A．，，，四点共面 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】C 【分析】根据已知向量的线性关系式得，结合向量共面定理即可得结论. 【详解】因为，所以， 即，故， 所以P，B，C，D四点共面且其中任意三点不共线，故C正确； 若A正确，则在平面中，而平面中，在故在直线上，矛盾，故A错误， 若B正确，则在平面中，而平面中，在故在直线上，矛盾，故B错误， 若D正确，则在平面中，而平面中，在故在直线上，矛盾，故D错误。 故选：C 变式3-2．已知O为平面外一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理的推论计算即可． 【详解】因为A，B，C，P四点共面，则根据平面向量基本定理可知， ，则， 整理得，其中，系数和为１， 故由，可知，解得 变式3-3．已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面且不在该平面内，若，则实数的值为____. 【答案】 【详解】， 因为四点共面， 所以，解得. 【题型四】空间向量的运算的坐标表示 例4．已知向量，，，若，，三向量共面，则实数______________． 【答案】 【详解】因为，，三向量共面，所以存在一组实数，使得， 又因为，，， 所以， 所以，解得， 所以，，三向量共面，则实数. 变式4-1．下列向量中与向量共线的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与向量共线的是， 则，逐项代入检验，可知D选项符合. 变式4-2．已知向量，，共面，则实数的值是__________． 【答案】3 【分析】由空间向量共面定理列出等量关系求解. 【详解】由向量，，共面，设， ，，. 实数的值为. 变式4-3．已知，. (1)求； (2)求的值 (3)若，求实数的值； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，， 则； （2）由题意得，， 则； （3）由题意得，， 因为，所以， 得 【题型五】空间向量的数量积及其性质的应用 例5．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，则的长为________ 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算表示，计算即可得到结果. 【详解】设，由题意得. ∵， ∴ . 故答案为：. 变式5-1．在四棱柱中，，，，则__________. 【答案】3 【分析】根据向量线性运算法则有，平方后利用数量积的运算求解． 【详解】由题意知，所以 ， 即， 解得，即. 故答案为：3. 变式5-2．正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠，使.则三棱锥的体积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据正三角形折叠后得出平面,设夹角为，进而得,再应用三棱锥体积公式计算即可. 【详解】 正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠， 因为平面,所以平面, 设夹角为， 使 . 则, . 故选：A. 变式5-3．如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点．      (1)求的值； (2)证明：C，E，F，G四点共面． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得：，因为，， 因为不共线，所以令， 即，解得， ∴. 故C，E，F，G四点共面. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出向量坐标，利用数量积公式即得； （2）求出，得到四点共面. 【详解】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，又因为， 所以建立如图所示的空间直角坐标系，    ∵， ∴，，，， ∴，， ∴. （2）略. 【题型六】空间向量在平行、垂直问题中的应用 例6．如图，在长方体中，，，．（用向量方法解答）. (1)求证:平面； (2)已知P为线段的中点，求证：平面． 【答案】(1)由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. (2)由题意 因为是线段的中点，所以于是 由（1）可取平面的法向量，且 所以直线的方向向量与平面的法向量垂直． 又平面的方程可写为而点不满足该方程，所以不在平面内． 因此平面. 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）求出的坐标，验证与平面的法向量垂直，并说明直线不在该平面内． 【详解】（1）略. （2）略. 变式6-1．已知正四棱柱中，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，A选项，求平面的法向量，判断是否平行于平面； B选项，分别求平面和平面的法向量，判断两个平面是否平行；C选项，求平面的法向量，判断是否垂直于平面；D选项，求平面和平面的法向量，判断平面是否垂直于平面. 【详解】以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 已知，，则各点坐标为：，，， ，，，，. 对于A选项，则， ，. 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，不平行于平面，故选项A错误. 对于B选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，平面平面，故选项B正确. 对于C选项，，， . 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. 与不平行，不垂直于平面，故选项C错误. 对于D选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，平面不垂直于平面， 故选项D错误. 故选：B. 【点睛】 变式6-2．直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 为中点，故， 在上，且，向量， ， 因此的坐标为：， 在上，设，则：. 接着求平面的法向量，设法向量为， ，，， 令，则，. 因为平面，所以， 化简得：， 所以. 变式6-3．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，是棱的中点． (1)求证：平面； (2)平面与平面有可能垂直吗，若有可能，求出的长；若没有可能，说明理由． 【答案】(1)连接交于点，连接， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，则平面． (2)有可能， 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建系，求出各个点的坐标，再分别求出平面与平面的法向量，根据两个平面垂直时法向量的关系列出方程就可求解. 【详解】（1）略 （2）假设当时，平面平面， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 即， 令，得， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 当平面与平面垂直时，有，解得． 故当时，平面平面． 【题型七】空间角的计算 例7．如图，在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使得． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)直角梯形中，， 所以四边形为正方形. 所以，. 又，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法求得二面角的大小． 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为. ， 由图可知,二面角为钝角,所以二面角的大小为． 变式7-1．在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则令，解得，， 所以是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则.    变式7-2．在长方体中，，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在长方体中，，，， ，又，， 又因为平面，平面， 又平面，， 又∵平面平面， 为二面角所成的平面角， 所以， 即二面角的余弦值为． 变式7-3．如图，在四棱锥中，点在上，平面，，已知，，，． (1)证明：； (2)若四边形为平行四边形，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：由平面，平面，故．     又，且，，平面， 所以平面，     又平面， 所以． (2) 【分析】（1）先利用线面垂直判定定理得出平面，进而得出线线垂直； （2）先根据线面垂直建立空间直角坐标系，再计算平面的一个法向量，进而应用线面角正弦公式计算，最后应用同角三角函数关系求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，又平面， 故，且，． 以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．     则，，，， 由平面，且，得 ， 因为四边形为平行四边形， 所以，即， 设平面的一个法向量， 而，， 所以， 令，则，，．     直线的方向向量，     设直线与平面所成的角为，则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 【题型八】空间距离的计算 例8．如图，正方体的棱长为2，和分别为和的中点. (1)证明：； (2)求到平面的距离. 【答案】(1)因为正方体，所以且， 因为和分别为和的中点. 所以，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以； (2) 【分析】（1）利用平行四边形性质可知，再由线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，由空间距离的向量求法直接计算可得其距离. 【详解】（1）略 （2）在正方体中，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则，         取，可得，，所以， 又由向量， 所以点到平面的距离为. 变式8-1．若空间中有三点，，，则点到平面ABC的距离为______. 【答案】 【分析】求出平面的法向量，利用空间距离的向量公式求点到平面的距离即可. 【详解】由已知得. 设平面ABC的一个法向量， 所以有，. 令，则，，所以. 所以点到平面ABC的距离为. 变式8-2．如图，在直三棱柱中，，，、分别为，的中点，则直线到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证，推出平面，把直线到平面距离转化为点到平面的距离，再建立空间直角坐标系，求出相关点与向量，解方程组得到平面的法向量，最后代入点到平面距离公式算出结果． 【详解】如图，连接， 因为在直三棱柱中，、分别为，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面， 则点到平面的距离即为直线到平面的距离． 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系． 因为，、分别为，的中点， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 所以平面的法向量为， 又， 所以点到平面的距离为， 则直线到平面的距离为． 变式8-3．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，是正三角形，，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)已知，点在棱上，且满足，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：因为是正三角形，且点为的中点， 所以，     因为四边形为菱形，且， 连接，则是正三角形，所以，     因为，，平面，所以平面，     在菱形中，    所以平面，     因为平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）利用正三角形三线合一得到AD垂直平面OCP内的两条相交直线，结合菱形对边平行推出BC垂直平面OCP，最终由面面垂直判定定理完成证明； （2）先通过勾股逆定理证明三线两两垂直以建立空间直角坐标系，求出平面法向量与M点坐标，再代入点到平面的距离公式计算结果. 【详解】（1）略 （2）因为与都是边长为3的正三角形，所以， 因为，所以， 所以，    所以，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，     连接，则，，， 设，由得， 故，得，得，     所以，，，     设平面的法向量， 则即 取，得，     设点到平面的距离为， 则． 所以点到平面的距离为1+3 【题型一】空间直角坐标系建系不合理 易错警示 建系前务必确认三条直线两两垂直，不能仅凭直观感觉随意设轴。优先以底面垂直交点、棱线垂足为原点，坐标轴方向要与几何体棱边对齐。建系出错会直接导致后续所有点坐标、向量运算全部失效，是立体几何向量法首要失分点。 例1．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接菱形对角线、交于中点，利用三角形中位线得，由线面平行判定定理证平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再设上的点并表示出平面的法向量，根据面面垂直的法向量点积为零列方程，解得参数后算出的长度为. 【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点. 因为为的中点，所以在中，是中位线，即. 因为平面平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，. 设平面的法向量为. 因为， 所以令，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则 令，则. 若平面平面， 则，解得. 故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为. 变式1-1．如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. 证明：平面； 【答案】证法一：如图①所示，取棱 上一点，使得， 连接，因为，所以，且， 又因为四边形为菱形，且，所以且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 证法二:如图②所示，取棱上一点，使得，连接， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为四边形为菱形，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 证法三：如图③所示，取的中点，连接，作，垂足为， 在菱形中，，所以为等边三角形，所以， 又因为，平面 ，所以平面， 在中，，可得， 由余弦定理得，可得， 所以，即， 因为，所以， 又因为平面，平面， 所以， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，又因为平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 所以， 因为平面，所以平面. 【分析】法一：取棱 上一点，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 法二:取棱上一点，分别证得平面和平面，得到平面平面，即可证得平面； 法三：取的中点，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再求得，结合，进而证得平面. 【详解】略. 变式1-2．如图，在直四棱柱中，，，，，点为的中点，点在上，且满足，点在上，且满足． (1)求直四棱柱的侧面积； (2)以点为坐标原点，以为轴正半轴，以为轴正半轴，建立空间直角坐标系，分别求向量、、的坐标； (3)判断直线是否在平面内，并说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)直线在平面内，理由如下： 假设直线在平面内，由共面向量基本定理，存在实数使得， 由（2）解析知，，， 代入上式得：， 所以，解得. 因此，三个向量共面，且过平面内的点， 因此直线在平面内. 【分析】（1）首先判断直四棱柱的底是直角梯形，并计算梯形的边长，再由直棱柱的侧面积公式计算可得； （2）根据题中所给的坐标系，计算各点及向量的坐标，并结合向量的运算可得向量的坐标； （3）先假设直线在平面内，再由空间向量基本定理得，代入坐标求得，从而可得直线在平面内. 【详解】（1）因为，，所以底面为直角梯形，，， 过作于，则，， 因此腰长​. 底面四边形四边的边长，且， 所以直四棱柱的侧面积：.​ 因此直四棱柱的侧面积为 （2）因为以点为坐标原点，以为轴正半轴，以为轴正半轴，建立空间直角坐标系，故以为轴正半轴，如图： 各点坐标为：. 因为点是中点：由中点坐标公式得，因此； 又点满足​，即​，， 因此； 又点满足，即，且 ， 因此. 因此，，. （3）略 变式1-3．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，.    (1)求三棱锥的体积； (2)若平面，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由线面垂直推，结合等腰三角形得，证出垂直侧面，再利用等体积法转换顶点，代入棱长数值套用棱锥体积公式算出结果. （2）先证垂直平面得线线垂直，再建空间直角坐标系写出对应点与向量坐标，由线面垂直推出向量点积为零，列方程求解得出的值. 【详解】（1）由题可知，平面，平面，所以. 又，所以. 因为，，平面，所以平面. 易得，， 所以. （2）如图，过点作平面，交于点，所以. 由（1）得平面，平面，所以 所以分，，两两垂直. 所以分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.    则，，，， 可得，， 因为平面，所以. 即，所以，解得， 检验可知符合题意. 【题型二】线面平行、垂直的向量判定混淆 易错警示 证明线面平行，是直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内；证明线面垂直，是直线方向向量与平面内两个不共线向量都垂直。不要混用判定条件，书写步骤中必须补齐几何前提，只写向量关系会造成步骤扣分。 例2．在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 证明：平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. (2)存在，的值为 【分析】（1）首先利用面面垂直的性质证明，然后结合已知条件利用线面垂直的判定定理即可证明平面.进而得到面面垂直. （2）首先假设存在点，根据已知条件和（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与垂直求解即可. 【详解】（1）略 （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 变式2-1．在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用直线与平面平行时，其方向向量与平面法向量垂直，数量积为0的性质列方程求解. 【详解】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的一个法向量垂直， 则， 所以. 变式2-2．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________    【答案】 【分析】建立空间坐标系，利用空间向量进行求解，平面则可利用与平面的法向量垂直求解. 【详解】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，   设， 则,， 设面的一个法向量, 则,即， 令得， 因为平面，所以,即， 所以得， ,所以， 因为，所以． 故答案为：． 变式2-3．如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，为上一点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)因为，，，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以底面. 故以为原点，、、分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则､､､､､， 所以，，， 则，， 即，，又，平面， 所以平面. (2)，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以. 所以，所以， 因为平面，所以平面． 【分析】（1）由得，又平面平面得底面，以A为原点，、、分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，证明，，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）求出平面的一个法向量，利用可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 【题型三】线面角求解误判三角函数 易错警示 线面角是直线与平面中投影的夹角，范围为，它与直线方向向量和平面法向量的夹角互余。计算时线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，切勿直接把向量夹角当成线面角、误用余弦求值。 例3．如图，在正四棱锥中，为底面的中心，为线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：在正四棱锥中，为底面的中心， 所以为的中点， 又为线段的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）根据题意可证得，然后利用线面平行的判定定理即可求证； （2）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合线面夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）在正四棱锥中，为底面的中心，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形，所以． 所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 因为，， 所以，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则即 令，得，，所以是平面的一个法向量． 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 变式3-1．在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为__________. 【答案】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求直线EF与底面ABCD所成角的正弦值. 【详解】如图，以A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 故，，， 由，， 所以， 由题知是平面ABCD的一个法向量， 设直线EF与底面ABCD所成角为，则， 即直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 故答案为： 变式3-2．如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为__________. 【答案】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解即可. 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，设平面的法向量为， 则，则平面的一个法向量， 所以，即直线平面， 故直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 变式3-3．如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面. (1)若为上靠近点的三等分点，证明：平面； (2)若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) 如图，设与交于点，连接， 因为，，所以， 所以，所以为上靠近点的三等分点， 又因为为上靠近点的三等分点，所以在中，， 而平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）设与交于点，由，线线平行判定线面平行； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量，由线面角的正弦等于方向向量与法向量的余弦的绝对值计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以， 又因为平面，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， ， ， 从而， 因为，所以， 所以点的坐标为，， 设平面的一个法向量为， 则即 则，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，为锐角， 则， . 【题型四】混淆二面角与两平面夹角的取值范围 易错警示 二面角范围是，两个平面夹角规定为。利用法向量求角时，要观察图形判断二面角是锐角还是钝角；求平面夹角时一律取锐角或直角，不能直接照搬法向量夹角，忽略图形判断会导致角度符号、大小出错。 例4．如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，是的中点，. (1)证明：平面； (2)，P为线段上一点.若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)连接，交于点，连接，如图所示. 三棱柱的所有棱长均相等，四边形是菱形； ，是的中点； 是的中点，. ，，平面. 平面，平面. (2)1 【分析】（1）连接交于点，连结，利用棱柱性质及线面平行的判定定理完成证明； （2）结合平面平面，是等边三角形，，证明，，两两垂直，以此为基础建立空间直角坐标系，设参数表示向量，分别求出平面和平面的一个法向量，根据二面角的余弦值公式列方程，求解参数后计算的长度. 【详解】（1）略 （2）三棱柱的所有棱长均相等，是等边三角形； 是的中点，. ，，，，； 在中，，，得，即. 平面平面，平面平面， 平面. 以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图. 则，，，，； ，， 平面，平面的一个法向量为. 为线段上一点，设. 四边形是菱形，，. . 设平面的一个法向量为， 则，即，得. 令，则，，得. 设二面角的夹角为，则，解得. ，. ，即为的中点，即. 的长为. 变式4-1．如图，和所在平面垂直，且，，则平面和平面的夹角的余弦值为________. 【答案】/ 【分析】作于点，利用条件证明平面，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和平面法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】因和所在平面垂直，且平面平面，作于点， 则平面，连接，则，因，则， 又因，则全等于，则，故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，故可取， 因平面，则可取为平面的法向量， 设平面和平面的夹角为，则. 变式4-2．二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知,该二面角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】将拆分为三段向量之和，利用垂直条件消去无关点积，通过模长平方反解向量点积，最终求出二面角平面角的余弦值． 【详解】如图： ，因为， 故， ， 故，解得， 设二面角的平面角为，则． 变式4-3．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，． (1)证明：； (2)若平面与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一得到，再借助面面垂直的性质定理证出平面，最后结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量。利用二面角为列方程求出高，代入体积公式即可得到体积； 方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，利用得到，求解再用等体积法即可求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：取的中点，因为为正三角形，所以， 过作与交于点，则， 所以两两垂直， 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，， 设，因为，则， 因为平面，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，又，， 所以由，得，令，则，，故， 因为二面角的大小为，所以， 解得， 所以，又，所以， 故三棱锥的体积． 方法二：过点作，垂足为．由平面，得， 故平面． 过作于，连接． 因为平面，平面，所以．又，，平面，所以平面，故． 因此就是平面与平面所成二面角的平面角，． 在中，． 是边长为1的等边三角形，是中点， 所以，，，． 在中，由余弦定理： 得，． 因为，，所以， 又，故，所以． 在中，，所以． 底面的面积： 由等体积法：，是点到平面的高： 所以. 【题型一】折叠问题 例1．如图，平面四边形中，，，，将沿翻折至，使得平面平面，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1) ，， 又， ，即且， 四边形为平行四边形. 连接，交于点，则是的中点，连接， 是的中点，是的中点，. 平面，平面， 平面． (2) (3) 【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理可得，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）取的中点，连接，，由平面平面可得平面，从而知是直线与平面所成的角，再解三角形即可求出. （3）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用平面夹角公式计算即可. 【详解】（1）略 （2） 由（1）知，四边形为平行四边形， 又， 所以四边形是边长为的菱形，即， ， 是边长为的正三角形，则是边长为的正三角形. 取的中点，连接，，则， 平面四边形中， ， ，， 又，则， ， 平面平面，平面平面， 又，平面， 平面，则是在平面的射影， 是直线与平面所成的角， 也是边长为的正三角形， 又，，， 即直线与平面所成的角为. （3） 由（2）知，，，， 如图所示，以为坐标原点， 以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，，， 平面的一个法向量为， 有，， 设平面的法向量为， 则，，解得， 取，则，， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 则. 变式1-1．在直角梯形中，，，，，将四边形沿翻折至，使得为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) 在平面图形中，在直角梯形,易得，， 所以，又，所以平面 又，即， 所以平面，又平面， 所以平面平面． (2) 【分析】（1）证明线线垂直，转化为证明线面垂直，仔转化为证明平面与平面垂直； （2）根据垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求两个平面与平面的法向量，利用向量法求平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，以为坐标原点，分别以为轴，垂直于平面为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则,,,,, 则,,,, 设平面的法向量为， 则，即,令，， 故， 设平面的法向量为， 则，即,令，， 故， 所以， 所以平面与平面的所成角的余弦值为平面. 变式1-2．如图①所示，正三角形的边长为，是边上的高，，分别为和边上的中点，现将沿翻折成直二面角，如图②所示． (1)试判断翻折后的直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)平面. 理由如下：由题意知，平面平面，. 翻折后，，， 因为平面平面，则即为直二面角的平面角， 所以. 以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 因为，， 所以，所以，即. 又平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）结合直二面角的定义建立空间直角坐标系，利用平行关系的向量表示得到，根据线面平行的判定定理证明即可. （2）求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）在平面内，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 又， 所以，. 所以点到平面的距离. 变式1-3．如图1，在梯形中，，，，于，，将沿翻折至，使得，如图2. (1)证明：平面； (2)已知四棱锥的体积为，若点在线段上，且二面角的大小为60°，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：连接，在梯形中，因，则， ，，则，又，则， 翻折后.在中，，则得， 因，，平面，故平面. (2) 【分析】（1）利用题设条件先证，结合，利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）根据题意建系，利用四棱锥的体积求出的长，设，根据空间向量的夹角公式列出方程求得，再由线面角的向量解法即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）得平面，且， 故可以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 设，由，解得， 则， 依题意，设，则，可得， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可取. 因平面，则平面的法向量可取为， 依题意， 因，方程化简得，解得，此时， 因，设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【题型二】夹角的取值范围问题 例2．如图，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点，点，是侧棱上的动点，．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明： 法1，如图，取的中点，连接， 因为分别是和的中点，所以，且， 又因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面． 法2：由题意得平面且， 因此以为坐标原点，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，设，则 有， 设平面的法向量为， 则，即，取， 则，即平面的一个法向量为， 则平面，所以平面． (2) 【分析】（1）法1，取中点，可证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明；法2，以为原点，分别所在直线为轴建系，由直线与平面的法向量垂直证明. （2）以为原点，分别所在直线为轴建系，由两平面法向量的夹角公式计算余弦值，并通过换元法求出该余弦值的取值范围； 【详解】（1）略 （2）在直三棱柱中，平面且， 因此以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，由题易知，为平面的一个法向量． 设，则，有， 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，即平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 令，则， 即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为． 变式2-1．在正方体中，点O为线段的中点，点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法将用一元函数表示出来，再求解取值范围即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 得到，令，解得， 可得为平面的一个法向量， 则直线OP与平面所成的角的正弦值如下， 得到， 由，可得， 所以. 变式2-2．如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1) 因为所以， 所以，所以， 由三棱柱是直三棱柱，得平面，又平面，所以， 因为，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据已知结合余弦定理得出，再由线面垂直的性质有、，进而有平面.； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，设，应用向量法求面面角的余弦值结合函数单调性即可求出范围. 【详解】（1）略 （2）由于，且平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，且是四边形（不含边界）内的动点,． 所以，即， 设， 所以． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 设平面与平面所成角为 则， 令，则， 因为在上单调递减，所以，所以. 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围. 变式2-3．如图，在棱锥中，动点在线段上运动，平面，正方形的边长为2，，． (1)证明：平面平面； (2)求二面角余弦值的取值范围． 【答案】(1)因为平面，平面，所以. 正方形中，因为平面， 所以平面. 动点在线段上运动，所以平面即平面， 所以由平面，得平面平面. (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，并表示出两个法向量夹角的余弦值，求得该余弦值的取值范围，从而求得二面角余弦值的取值范围． 【详解】（1）略 （2）因为正方形的边长为2，， 所以，所以. 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 因为动点在线段上运动，所以设， 则. 设平面的法向量为， 则， 令，则. 所以平面的一个法向量为. 因为平面即平面，平面， 所以平面的一个法向量为. . 由，得， 所以，， ， 所以. 由图易知，二面角为锐二面角，所以其平面角与互补， 所以二面角余弦值的取值范围为. 【题型三】探索性问题 例3．如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面.    (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)取中点为，连接， 是边长为4的等边三角形，， 又平面平面，平面平面，平面， 又，，是平行四边形，. 又，， 又平面且，平面， 又平面，. (2)存在， 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线面垂直定理和性质即可证明； （2）以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，由二面角的向量公式求得，即可求解的值. 【详解】（1）略 （2）由题意知以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， 则， 令，, 设平面的法向量为，则， 取，得， 又平面的一个法向量为， ，化简得， 又，故解得， 故线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时. 变式3-1．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)证明：直线平面 (2)是否在线段存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）证明，根据线面平行的判定定理判断即可. （2）求出平面与平面的法向量，根据面面垂直的性质，使得它们满足垂直条件即可. 【详解】（1）为线段的中点，为线段的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）存在点，，理由如下： 如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段的中点，为线段的中点，所以，. 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设，则. 设平面的法向量为. ，，， 则，即， 令，则，，所以. 若使平面平面，则，即， 解得. 所以，故，即. 变式3-2．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点． (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面的夹角大小； (3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)连接，设交于，由题意知平面． 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图： 设底面边长为，则高， 于是S ，D ，C ， ＝ ，＝ ， ∵，故，从而． (2) (3)存在， 【分析】（1）由题设知，连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积证明； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果； （3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法向量，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题设知，平面PAC的一个法向量 ， 平面的一个法向量 ， 设所求角为，则， ∴平面与平面的夹角为． （3）存在，，理由如下： 在棱上存在一点使平面．由（2）知是平面的一个法向量， 且 ， ． 设，则 而. 即当时 ，而平面，故平面. 变式3-3．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在线段上（不包括端点）是否存在点，使平面和平面夹角余弦值为？若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，为的中点， ． 又∵平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ． (2) (3)存在， 【分析】（1）先由等腰三角形三线合一得，再结合面面垂直的性质定理证平面，进而由线面垂直的性质推出； （2）先由底面几何关系与棱锥体积求出高，建立空间直角坐标系，求出平面法向量与直线方向向量，利用线面角和向量夹角的关系计算正弦值； （3）设参数表示动点E的坐标，分别求出两个平面的法向量，利用面面夹角的余弦值列方程求解参数，进而得到线段长度的比值． 【详解】（1）略 （2）分别取、的中点为、，连结、， 为的中点，是边长为的等边三角形，故， 是直角三角形，，，． 、的中点为、，，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ，． 以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为，，轴， 如图建立空间直角坐标系 则，，，，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于． （3）在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为， 设， 由（2）知，，， ，， ， 面的法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， 由平面和平面夹角余弦值， ， 即， 整理得，， 解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的余弦值为，此时． 模型01向量法证明线面平行 适用题型：证明直线平面 ①求出直线的方向向量；②求出平面的法向量；③验证，且直线不在平面内；④得出直线与平面平行的结论。 例1．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明:因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】略. 变式1-1．如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 【答案】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 则 ∵分别是的中点 ∴ 则 显然平面的一个法向量为， 所以，则， 又面 ，所以平面. 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而证得，进而得证. 【详解】略 变式1-2．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 【答案】 以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，， 又因为分别为和的中点，可得， 又由向量为平面的一个法向量，且， 由此可得， 又因为直线平面，所以平面. 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合，即可证得平面. 【详解】略 变式1-3．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 【答案】因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 则，可得， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形，有， 平面，，所以平面， 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． 【分析】建系并标点，可证平面，所以为面的法向量，利用空间向量证明线面平行. 【详解】略 模型02向量法证明面面垂直 适用题型：证明平面平面 ①分别求出平面、平面的法向量；②计算两个法向量的数量积；③若数量积等于0，则两个法向量互相垂直；④推出两个平面互相垂直。 例2．如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)判定平面与平面的位置关系． 【答案】(1) (2)平面平面 【分析】（1）利用数量积运算，求得与夹角的余弦值，即可得异面直线AO与BC所成角余弦值； （2）由向量垂直证明线线垂直，结合线面垂直、面面垂直的判定定理可得平面平面. 【详解】（1）中，，，所以. 因为， 所以 . 所以. 所以. 故异面直线AO与BC所成的角的余弦值为. （2）取的中点，记为点，则，且. 由（1）得因为， 所以. 所以，即. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 变式2-1．棱长为2的正方体中，分别为棱上的动点，且. (1)若，求与所成的角的余弦值； (2)证明：平面 平面. 【答案】(1) (2)设，则， . 设平面的一个法向量， 由则 令，则，所以平面的一个法向量. 同理可得平面的一个法向量. 因为. 所以平面平面. 【分析】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得，再利用夹角公式求解； （2）求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，再由证明. 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. ， . 所以， . 所以. 故与所成的角的余弦值为. （2）略 变式2-2．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】 证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. AI则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 【分析】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【详解】略 变式2-3．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【答案】(1) (2) 由（1）知， ， 设平面BEA的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则； ，即 令，则，所以， 所以平面平面． 【分析】（1）由题意可得，，所以以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，即可求解； （2）通过证明平面与平面的法向量的数量积为，即可证明. 【详解】（1）在直三棱柱中，， 又平面， 所以平面，因此两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以， 所以． （2）略 模型03向量法求线面角（一建二求三代入） 适用题型：求直线与平面所成角 ①建立空间直角坐标系，写出各点坐标；②求出直线方向向量与平面法向量；③代入公式；④算出锐角，即为所求线面角。 例3．如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____. 【答案】/ 【分析】b依题意以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示： 设正方体边长为2，可得 所以， 设平面的一个法向量为， 可得， 令，可得，即， 所以与平面所成角的正弦值为， 故答案为： 变式3-1．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段的中点． (1)求证：直线平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：以A为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，． 设平面的法向量为， 则,得, 令，得平面的一个法向量为． 因为，所以， 又直线平面，所以直线平面． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，平面的法向量，根据空间线面位置关系的向量证明方法，即可证明； （2）求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 则，得， 令，得平面的一个法向量为． 因为，设直线与平面所成的角θ， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 变式3-2．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为_____. 【答案】 【分析】解法一：将直线与平面所成角转化为与平面所成的角即可求解；解法二：设，由等体积法得出，由线面夹角定义即可求解；解法三：以平面为底面，为高，将原几何体补成长方体，再由线面夹角定义即可求解；解法四：以为原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用直线与平面夹角的向量公式求解即可． 【详解】解法一：如图所示，设是的中点，连接， 则，故与平面所成的角相等， 设为的中点，连接，则， 因为，所以， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面，且， 所以平面，又平面 所以平面平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的射影， 过点作于点， 因为，平面平面，平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，由此可得，，则， 由平面，平面，所以， 在中，， 则由等面积法得，， 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：如图所示，过点作平面，垂足为，连接， 则为与平面所成的角． 设，则，则， ，，， 因为，所以， 由解法一得，， 由可得，代入数据得， 故． 解法三（补体法）：如图所示，以平面为底面，为高，将原几何体补成长方体（为该长方体的体对角线）． 设是的中点，则，点在平面上， 又平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的射影必在上， 过点作于点， 因为，平面， 所以平面， 因此即为与平面所成的角， 设，则，， 在中，． 解法四（向量法）：因为底面，底面， 所以， 又因为，是的中点，所以， 如图所示，以为原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， 设，则，，， 可得，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则由，得，取，得， 设直线与平面所成的角为，则． 变式3-3．如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为平面,所以,. 又四边形为正方形,所以,即两两垂直. 以为原点,分别以的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系. 由得,,,,,. 因为,,,所以,故. 因为分别为的中点,所以,,即. ,. 设平面的法向量为. 由,得,. 取,得,,即. 所以,即. 又平面的方程为,而,故平面,即直线不在平面内. 所以平面. (2) 【详解】（1）略. （2）由(1)知,,平面的一个法向量为. 所以,,. . 设直线与平面所成角为,则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 模型04向量法求二面角 适用题型：求两个平面的二面角 ①建系，求出两个平面各自的法向量；②计算；③观察几何体，判断二面角与相等还是互补；④确定二面角的余弦值，求出角度大小。 例4．如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． (1)求点到平面的距离： (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解； （2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式计算两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，平面， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， 因为为的中点，为的中点， 所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为； （2）由（1）知平面的一个法向量为， 对于平面，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 变式4-1．如图，四棱锥中，底面，，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)方法一：因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，所以， 又平面平面，所以平面. 方法二：以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设 设平面的法向量，由得． 取，得平面的一个法向量. （也可直接用AD的一个方向向量为去证明） 所以，即 又平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据一个平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行找到线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行即可；或利用空间直角坐标系，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直证明线面平行； （2）利用空间直角坐标系，根据二面角的平面角与法向量之间的关系求角即可． 【详解】（1）略 （2）方法一：以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， ，因为，则 设平面的法向量，由得 取，得平面的一个法向量. 设平面的法向量，由得． 取，得平面的一个法向量． 所以； 因为二面角为锐角． 所以二面角的余弦值为． 方法二：如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，且平面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，则， 而为等腰直角三角形，所以， ，则． 所以，二面角的余弦值为． 变式4-2．如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面． (1)证明：； (2)点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)取中点为，连接， 是边长为4的等边三角形，， 又平面平面，平面平面，平面， 又，，是平行四边形，，又， ，又平面且， 平面，又平面. (2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线面垂直定理和性质即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，由求出点坐标，由二面角的向量公式即可求出余弦值. 【详解】（1）略； （2） 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，， 因，所以，所以， 由题意可知，平面平面，故平面的法向量为， 向量，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，， 即， 设平面与平面的夹角为，则. 变式4-3．如图（1），在四边形中，，且，为中点，连接，，将图（1）沿，折起使得平面平面，平面平面，连接，，如图（2）． (1)证明：图（2）中的，，，四点共面； (2)求图（2）中平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)翻折前，,因为为的中点， 可得, 又平行于,故 平行于,则四边形为平行四边形， 可得,同理可得. 翻折后，取中点分别为，连接，如下图所示. 在中，由中位线可得平行于, 在等腰和等腰中 ，又因为平面平面， 平面平面,所以平面， 同理平面,所以平行于. 又因为，易得， 所以四边形为平行四边形， 所以平行于，平行于，所以平行于 所以翻折后四点共面. (2) 【分析】（1）构造平面，通过证明平行于，平行于，得到平行于，所以四点共面； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式得到平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）连接，易知，由（1）得，故以为原点，所在的直线分别为轴， 轴 轴，建立如图空间直角坐标系. 则， 于是， 设平面的法向量， 由， 取其中一组解可得.又因为平面法向量为. 设平面与平面所成的锐二面角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 技巧 一句话要点 基底选取 优先选取从同一点出发、两两不共面的三条棱向量，简化分解计算 空间建系 优先选择两两垂直的棱为坐标轴，原点放在顶点或中点，减少坐标运算量 求平面法向量 取平面内两个不共线向量，用叉乘直接写出法向量，避免解方程组 向量平行垂直判定 先排除零向量；平行看坐标成比例，垂直直接令数量积等于0 异面直线夹角 算出向量夹角余弦后一定要加绝对值，结果只保留锐角 线面角计算 牢记公式用正弦，不要误用余弦，全程带上绝对值 二面角求解 先求法向量夹角，再对照图形判断二面角是等于还是互补 点面距离计算 直接套用投影公式，不必再作垂线，简化几何作图步骤 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量及其应用 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类)考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点1 空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 共线向量定理推论：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 共面向量定理推论：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． （3）空间向量基本定理：如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 知识点2 空间向量的数量积 （1）空间两个向量的夹角的定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量的夹角，记，注意：共起点找夹角 范围：，其中，当，； 或 (为非零向量) （2）空间向量的数量积：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 （3）数量积的运算：①，；②(交换律)； ③ (分配律). 知识点3 空间向量的坐标表示 设，，则有以下运算： ①数量积： ② ③（均非零向量） ④ ⑤ 知识点4 直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量:如图,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 （2）平面法向量的概念：如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． （3）平面的法向量的求法： 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: ①设向量：设平面的法向量为 ；②选向量：选取两不共线向量 ③列方程组：由列出方程组； ④解方程组：解方程组 ⑤赋非零值：取其中一个为非零值（常取)； ⑥得结论：得到平面的一个法向量. 知识点5 空间位置关系的坐标表示 空间中直线、平面的平行与垂直 设直线,的方向向量分别为,,平面,的法向量分别为，，则 ①线线平行：⇔⇔() ②线面平行：⇔⇔ ③面面平行：⇔⇔； ④线线垂直：⇔ ⑤线面垂直：⇔⇔ ⑥面面垂直：⇔⇔ 知识点6 空间角的向量求法 （1）异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： 第一步：；第二步： （2）直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则第一步：；第二步：. （3）平面与平面所成角（二面角） 设，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小，则 第一步：； 第二步：若二面角为锐二面角，则； 若二面角为钝二面角，则； 知识点7 空间距离的向量求法 （1）点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 （2）点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则 （3）线面距离与面面距离 距离求法：①首先确定直线与平面平行（平面与平面平行），然后可将问题转化成点到平面的距离问题 考点01空间向量的概念与线性运算 考点内容：空间向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量、共面向量；向量加减、数乘运算；共线向量定理、共面向量定理；四点共面条件。 常见考法： ①判断向量是否共线、共面，区分共线与共面向量； ②利用线性运算对向量进行分解、化简； ③利用共面向量定理证明四点共面； ④根据向量共线求参数的值。 考点02空间向量基本定理与基底 考点内容：空间向量基本定理；基底的条件（三个向量不共面）；基向量；空间向量唯一分解式。 常见考法： ①判断三个向量能否作为一组基底； ②把空间向量用选定基底进行线性表示； ③利用分解式求未知数； ④在几何体中选取合适基底简化运算。 考点03空间向量坐标运算与平行垂直判定 考点内容：空间直角坐标系；向量坐标（终点减起点）；坐标下加减、数乘、数量积；向量平行、垂直的坐标条件；向量模长公式。 常见考法： ①给出两点坐标，求出对应向量的坐标； ②利用坐标进行向量四则运算； ③用坐标判定两向量平行或垂直，求解参数； ④计算向量的模长与两向量夹角余弦值。 考点04向量法判定空间线面平行与垂直 考点内容：直线方向向量、平面法向量；线线、线面、面面平行与垂直的向量等价条件。 常见考法： ①求直线的方向向量与平面的法向量； ②用向量证明线线平行、线线垂直； ③证明线面平行（方向向量⊥法向量）； ④证明线面垂直、面面垂直（法向量数量积为0）。 考点05向量法求空间角（异面角、线面角、二面角） 考点内容：异面直线夹角、直线与平面所成角、二面角；向量夹角公式；角度取值范围；线面角与法向量夹角的转换关系。 常见考法： ①求异面直线夹角，结果取锐角或直角； ②利用方向向量与法向量求线面角，注意用正弦； ③求出两个平面法向量夹角，结合图形判断二面角是锐角还是钝角； ④根据二面角大小反求参数。 考点06向量法求空间距离 考点内容：点到平面距离公式；线面距离、面面距离转化为点面距离；向量投影。 常见考法： ①套用公式计算点到平面的距离； ②将直线到平面的距离转化为直线上任意一点到平面的距离； ③利用距离条件建立方程求解线段长度。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 向量数量积 两个非零向量的数量积等于模长乘积乘以夹角余弦，用于求夹角、判定垂直 2 向量平行（共线） 非零向量共线，一个向量是另一个向量的数乘；坐标对应成比例 3 向量垂直 两个非零向量垂直，数量积等于0，坐标乘积之和为0 4 向量模长 向量模长等于坐标平方和开根号，对应线段长度 5 异面直线夹角 夹角取锐角或直角，必须加绝对值 6 线面角 直线方向向量，平面法向量，线面角用正弦，加绝对值 7 二面角余弦 两平面法向量夹角，再结合图形判定二面角锐钝 8 点到平面距离 为平面内任意一点到该点的向量，为平面法向量 辨析01区分共线向量与异面直线对应的向量 空间任意两个向量都可以平移到同一平面，一定共面；异面直线的方向向量只是所在直线异面，向量本身依然是共面向量。只有三个向量才有可能不共面，不能把异面直线当成向量不共面。 辨析02区分基底向量与共面向量 构成基底的三个向量必须不共面；如果三个向量平行于同一个平面，就不能作为空间向量的一组基底。同一平面内的三条棱向量不能选作基底。 辨析03区分向量夹角与异面直线夹角 向量夹角范围是；异面直线夹角只能取锐角或直角，范围是。计算异面直线夹角时必须给余弦值加上绝对值，不能直接使用向量夹角。 辨析04区分线面角与方向向量和法向量的夹角 线面角；直线方向向量与平面法向量的夹角为，满足。很多同学直接套用余弦公式，把线面角算成法向量夹角，造成结果错误。 辨析05区分二面角与两个法向量的夹角 两个平面法向量的夹角可以是锐角或钝角；二面角可以与法向量夹角相等，也可以互补。只计算法向量夹角而不观察几何体图形，容易把二面角的正负搞反。 【题型一】空间向量的线性运算 例1．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式1-1．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 变式1-2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．在空间四边形中，已知点、分别是、的中点，且，，，用向量，，表示向量正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型二】空间共线向量定理 例2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 变式2-1．已知点、点，求线段AB的三等分点的坐标______ 变式2-2．已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 变式2-3．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【题型三】空间共面向量定理 例3．已知，，，且不共面，共面，则（    ） A． B． C．0 D．1 变式3-1．已知，，，是空间不共面的四点，点满足：，则（  ） A．，，，四点共面 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 变式3-2．已知O为平面外一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 变式3-3．已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面且不在该平面内，若，则实数的值为____. 【题型四】空间向量的运算的坐标表示 例4．已知向量，，，若，，三向量共面，则实数______________． 变式4-1．下列向量中与向量共线的是（      ） A． B． C． D． 变式4-2．已知向量，，共面，则实数的值是__________． 变式4-3．已知，. (1)求； (2)求的值 (3)若，求实数的值； 【题型五】空间向量的数量积及其性质的应用 例5．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，则的长为________ 变式5-1．在四棱柱中，，，，则__________. 变式5-2．正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠，使.则三棱锥的体积为（    ） A． B．2 C． D． 变式5-3．如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点．      (1)求的值； (2)证明：C，E，F，G四点共面． 【题型六】空间向量在平行、垂直问题中的应用 例6．如图，在长方体中，，，．（用向量方法解答）. (1)求证:平面； (2)已知P为线段的中点，求证：平面． 变式6-1．已知正四棱柱中，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 变式6-2．直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 变式6-3．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，是棱的中点． (1)求证：平面； (2)平面与平面有可能垂直吗，若有可能，求出的长；若没有可能，说明理由． 【题型七】空间角的计算 例7．如图，在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使得． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小． 变式7-1．在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 变式7-2．在长方体中，，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．如图，在四棱锥中，点在上，平面，，已知，，，． (1)证明：； (2)若四边形为平行四边形，求直线与平面所成角的余弦值． 【题型八】空间距离的计算 例8．如图，正方体的棱长为2，和分别为和的中点. (1)证明：； (2)求到平面的距离. 变式8-1．若空间中有三点，，，则点到平面ABC的距离为______. 变式8-2．如图，在直三棱柱中，，，、分别为，的中点，则直线到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 变式8-3．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，是正三角形，，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)已知，点在棱上，且满足，求点到平面的距离． 【题型一】空间直角坐标系建系不合理 建系前务必确认三条直线两两垂直，不能仅凭直观感觉随意设轴。优先以底面垂直交点、棱线垂足为原点，坐标轴方向要与几何体棱边对齐。建系出错会直接导致后续所有点坐标、向量运算全部失效，是立体几何向量法首要失分点。 例1．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 变式1-1．如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. 证明：平面； 变式1-2．如图，在直四棱柱中，，，，，点为的中点，点在上，且满足，点在上，且满足． (1)求直四棱柱的侧面积； (2)以点为坐标原点，以为轴正半轴，以为轴正半轴，建立空间直角坐标系，分别求向量、、的坐标； (3)判断直线是否在平面内，并说明理由． 变式1-3．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，.    (1)求三棱锥的体积； (2)若平面，求的值. 【题型二】线面平行、垂直的向量判定混淆 证明线面平行，是直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内；证明线面垂直，是直线方向向量与平面内两个不共线向量都垂直。不要混用判定条件，书写步骤中必须补齐几何前提，只写向量关系会造成步骤扣分。 例2．在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 变式2-1．在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 变式2-2．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________    变式2-3．如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，为上一点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【题型三】线面角求解误判三角函数 线面角是直线与平面中投影的夹角，范围为，它与直线方向向量和平面法向量的夹角互余。计算时线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，切勿直接把向量夹角当成线面角、误用余弦求值。 例3．如图，在正四棱锥中，为底面的中心，为线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式3-1．在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为__________. 变式3-2．如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为__________. 变式3-3．如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面. (1)若为上靠近点的三等分点，证明：平面； (2)若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 【题型四】混淆二面角与两平面夹角的取值范围 二面角范围是，两个平面夹角规定为。利用法向量求角时，要观察图形判断二面角是锐角还是钝角；求平面夹角时一律取锐角或直角，不能直接照搬法向量夹角，忽略图形判断会导致角度符号、大小出错。 例4．如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，是的中点，. (1)证明：平面； (2)，P为线段上一点.若二面角的余弦值为，求的长. 变式4-1．如图，和所在平面垂直，且，，则平面和平面的夹角的余弦值为________. 变式4-2．二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知,该二面角的余弦值为______． 变式4-3．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，． (1)证明：； (2)若平面与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 【题型一】折叠问题 例1．如图，平面四边形中，，，，将沿翻折至，使得平面平面，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 变式1-1．在直角梯形中，，，，，将四边形沿翻折至，使得为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 变式1-2．如图①所示，正三角形的边长为，是边上的高，，分别为和边上的中点，现将沿翻折成直二面角，如图②所示． (1)试判断翻折后的直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求点到平面的距离． 变式1-3．如图1，在梯形中，，，，于，，将沿翻折至，使得，如图2. (1)证明：平面； (2)已知四棱锥的体积为，若点在线段上，且二面角的大小为60°，求直线与平面所成角的正弦值. 【题型二】夹角的取值范围问题 例2．如图，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点，点，是侧棱上的动点，．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 变式2-1．在正方体中，点O为线段的中点，点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 变式2-3．如图，在棱锥中，动点在线段上运动，平面，正方形的边长为2，，． (1)证明：平面平面； (2)求二面角余弦值的取值范围． 【题型三】探索性问题 例3．如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面.    (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 变式3-1．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)证明：直线平面 (2)是否在线段存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由？ 变式3-2．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点． (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面的夹角大小； (3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 变式3-3．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在线段上（不包括端点）是否存在点，使平面和平面夹角余弦值为？若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 模型01向量法证明线面平行 适用题型：证明直线平面 ①求出直线的方向向量；②求出平面的法向量；③验证，且直线不在平面内；④得出直线与平面平行的结论。 例1．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 变式1-1．如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 变式1-2．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 变式1-3．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 模型02向量法证明面面垂直 适用题型：证明平面平面 ①分别求出平面、平面的法向量；②计算两个法向量的数量积；③若数量积等于0，则两个法向量互相垂直；④推出两个平面互相垂直。 例2．如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)判定平面与平面的位置关系． 变式2-1．棱长为2的正方体中，分别为棱上的动点，且. (1)若，求与所成的角的余弦值； (2)证明：平面 平面. 变式2-2．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 变式2-3．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 模型03向量法求线面角（一建二求三代入） 适用题型：求直线与平面所成角 ①建立空间直角坐标系，写出各点坐标；②求出直线方向向量与平面法向量；③代入公式；④算出锐角，即为所求线面角。 例3．如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____. 变式3-1．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段的中点． (1)求证：直线平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式3-2．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为_____. 变式3-3．如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 模型04向量法求二面角 适用题型：求两个平面的二面角 ①建系，求出两个平面各自的法向量；②计算；③观察几何体，判断二面角与相等还是互补；④确定二面角的余弦值，求出角度大小。 例4．如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． (1)求点到平面的距离： (2)求平面与平面夹角的余弦值． 变式4-1．如图，四棱锥中，底面，，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 变式4-2．如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面． (1)证明：； (2)点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 变式4-3．如图（1），在四边形中，，且，为中点，连接，，将图（1）沿，折起使得平面平面，平面平面，连接，，如图（2）． (1)证明：图（2）中的，，，四点共面； (2)求图（2）中平面与平面夹角的余弦值． 技巧 一句话要点 基底选取 优先选取从同一点出发、两两不共面的三条棱向量，简化分解计算 空间建系 优先选择两两垂直的棱为坐标轴，原点放在顶点或中点，减少坐标运算量 求平面法向量 取平面内两个不共线向量，用叉乘直接写出法向量，避免解方程组 向量平行垂直判定 先排除零向量；平行看坐标成比例，垂直直接令数量积等于0 异面直线夹角 算出向量夹角余弦后一定要加绝对值，结果只保留锐角 线面角计算 牢记公式用正弦，不要误用余弦，全程带上绝对值 二面角求解 先求法向量夹角，再对照图形判断二面角是等于还是互补 点面距离计算 直接套用投影公式，不必再作垂线，简化几何作图步骤 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $