关于向量乘法和除法的探索专题（讲评课件）

关于向量乘法和除法的探索 刘海刚 主讲人：某某某老师 某某学校 1 一、向量乘法定义： 二、向量除法定义： 三、向量乘法和除法的坐标运算： 一、向量乘法定义： 二、向量除法定义： 三、向量乘法和除法的坐标运算： 2 复数的几何意义体现在两个方面：其一，复数与复平面内的点之 间的一一对应；其二，是复数与从原点出发的向量之间的一一对应。 这种对应关系沿用到运算领域就不怎么完美了。 无论复数的加法、还是减法都能和向量的加法和减法完美对应， 复数和实数的乘法也可以和数乘向量完美对应。但是虚数与虚数的乘 法与向量的运算就无法完美对应了。 试 卷 讲 评 课 件 3 复数与复数的乘积是复数而不一定是实数，但向量的数量积是实 数，因而不能很好对应。两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积， 叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与 这两个向量组成的坐标平面垂直。但我们知道两个复数的乘积是一个 复数，和作为乘数的两个复数处在同一个复平面内。因此向量的矢量 积也不足担当描述复数乘法的重任。 于是我们只能另辟新径，构造一个全新的向量乘法来描述复数的 乘法，并进而引申出向量除法，进一步描述复数的除法。也就是说我 们要打破向量只有乘法，而没有除法的现状。 试 卷 讲 评 课 件 4 我们知道复数的乘法与除法可以用三角形式进行，就可以用向量 解释了。因此我们不妨重新定义一种向量的乘法，在这种乘法下可以 实现复数乘法与向量乘法的对应，并且自然得到向量的除法，使之与 复数的除法相对应。 试 卷 讲 评 课 件 5 一、向量乘法定义： 6 1.向量的模与辐角：如图，设向量的起点在原 点，终点为，则 。对于非零向量定义辐 角为以轴的正半轴为始边，射线OA为终边的一 个角。特别地，0的辐角任意。 试 卷 讲 评 课 件 7 2.向量的乘法： 设非零向量的辐角分别为，定义为一个向量： (1)；(2)的辅角等于。(3) 根据定义，可知向量的乘法运算满足： ①交换律，即：②结合律, 即 。 另外，在沿用向量加法、和减法定义的前提下，向量乘法对加法、减 法还满足分配律，即③。 在此定义下复数的乘法与向量的乘法就实现了完美对应。 试 卷 讲 评 课 件 8 复数，，则 。对应的向量为，其模， 辐角为；对应的向量为，其模，辐角 为。于是的模为， 辐角为。 对应复数2. 复数，，则。 对应的向量为，其模，辐角为；对应的向 试 卷 讲 评 课 件 量为，其模，辐角为。于是的 模为， 辐角为。 ,对应复数 设任意，则。对应于向量的乘法运算就是 设，则对于任意向量，有成立。 试 卷 讲 评 课 件 二、向量除法定义： 11 设非零向量的辐角分别为，定义为一个向量： (1)；(2)的辐角等于。其中称为被除向量，为除 向量，为商。(3)0不能作除向量。 设复数，，则 。设向量，则，辐角为 。设向量，则，辐角为 。于是的模为。其辐角为 试 卷 讲 评 课 件 12 。， 。。其对应的复数 恰好为。 由于复数中有倒数概念，我们不妨在向量乘除法中也定义倒向量。 设任意非零向量，与横轴正向同向的单位向量为， 则向量的倒向量为。 设复数，则其倒数为 试 卷 讲 评 课 件 。设向量，则，辐角为 。该向量的倒向量为，其模为，辐角为 。于是 ，。。它对应 的复数。 于是除以一个向量就等于乘以该向量的倒向量了。 试 卷 讲 评 课 件 设复数，，则 。设向 量，则，。设向量， 则，。于是的模为。 。，。 。其对应的复数恰好为。 试 卷 讲 评 课 件 辐角的使用过于繁琐！为了计算简便，我们不妨仿照复数辐角主 值定义来定义向量的辐角主值。向量在 内的辐角称为的辐角 主值，记为 设复数，，则 。设向量，则， 。设向量，则，。于是 的模为。。， 试 卷 讲 评 课 件 。。其对应的复数恰好为。 设，，则。设向量 ，则，。设向量，则 ，。于是的模为 。。 ，。。其对应 的复数恰好为。这种运算和原来的数乘向量运算是一致的。也 就是说在新的向量乘法运算下，不必再单独定义数乘向量运算了。 试 卷 讲 评 课 件 三、向量乘法和除法的坐标运算： 18 因为向量的乘法、除法是与复数的乘法、除法相对应的，所以可 以利用复数的乘除法定义向量乘除法的坐标运算。 1. 试 卷 讲 评 课