第38期 9.1 分式及其基本性 9.2 分式的运算-【数理报】2023-2024学年七年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 （上接４版参考答案） 所以 ｋ的值为 ３， ４，５． １８．（１）因为 ｘ２＋ ｙ２－３ｘｙ＝４， 所以（ｘ－ｙ）２－ｘｙ ＝４． 因为ｘ－ｙ＝３， 所以ｘｙ＝５． （２）因为 ｘｙ＝５， ｘ２＋ｙ２－３ｘｙ＝４， 所以ｘ２＋ｙ２＝３ｘｙ ＋４＝１９． 所以（ｘ＋ｙ）２＝ｘ２ ＋２ｘｙ＋ｙ２ ＝２９． １９．（１）４，槡２１－ ４； （２）因为 ２＜槡５ ＜３，所以槡５的整数部 分是２，小数部分是槡５ －２，即ａ＝槡５－２．因 为３＜槡１５＜４，所以 槡１５的整数部分是３， 即ｂ＝３．所以（ａ＋２）２ ＋ｂ＝（槡５－２＋２） ２＋ ３＝８．因为８的立方根 是２，所以（ａ＋２）２＋ｂ 的立方根是２． ２０．（１）Ｂ是 Ａ的 “郡园多项式”．理由如 下： （ｘ－２）（ｘ＋３）＝ ｘ２＋ｘ－６． 因为ｘ２＋ｘ－６的 项数比Ａ的项数多１， 所以Ｂ是Ａ的“郡 园多项式”． （２）（ｘ２－ｘ＋３ｍ） （下转２，３版中缝） 书 分式的加减运算应用广泛，下面举例加以说明，供 同学们参考． 一、比较大小 例１　已知ｂ＞ａ＞０，则分式 ａｂ与 ａ＋１ ｂ＋１的大小关 系是 （　　） Ａ．ａｂ ＜ ａ＋１ ｂ＋１ Ｂ． ａ ｂ ＝ ａ＋１ ｂ＋１ Ｃ．ａｂ ＞ ａ＋１ ｂ＋１ Ｄ．无法确定 分析：利用异分母分式的减法法则，从而得到 ａ ｂ与 ａ＋１ ｂ＋１的大小关系． 解： ａ ｂ － ａ＋１ ｂ＋１ ＝ ａ（ｂ＋１）－ｂ（ａ＋１） ｂ（ｂ＋１） ＝ ａ－ｂ ｂ（ｂ＋１）． 因为ｂ＞ａ＞０，所以ａ－ｂ＜０，ｂ＋１＞０． 所以 ａ－ｂ ｂ（ｂ＋１）＜０．所以 ａ ｂ－ ａ＋１ ｂ＋１＜０． 所以 ａ ｂ ＜ ａ＋１ ｂ＋１． 故选Ａ． 二、求待定字母 例２　已知 Ａｘ－１－ Ｂ ２－ｘ＝ ２ｘ－６ （ｘ－１）（ｘ－２），则Ａ－ Ｂ＝ ． 分析：根据异分母分式的减法法则计算等式的左 边，根据题意列出方程组，解方程组即可． 解： Ａ ｘ－１ － Ｂ ２－ｘ ＝ Ａ（２－ｘ）－Ｂ（ｘ－１） （ｘ－１）（２－ｘ） ＝ （－Ａ－Ｂ）ｘ＋（２Ａ＋Ｂ） （ｘ－１）（２－ｘ） ＝ （Ａ＋Ｂ）ｘ－（２Ａ＋Ｂ） （ｘ－１）（ｘ－２） ． 根据题意，得 Ａ＋Ｂ＝２， ２Ａ＋Ｂ＝６{ ． 解得 Ａ＝４， Ｂ＝－２{ ． 所以Ａ－Ｂ＝６． 故填６． 三、求代数式的值 例３　 若 １ｘ＋ １ ｙ ＝－２，则分式 ｘ－ｘｙ＋ｙ ３ｘ＋５ｘｙ＋３ｙ＝ ． 分析：运用分式的加法法则将已知等式进行通分变 形，然后利用整体思想代入求值． 解：因为 １ ｘ＋ １ ｙ＝ ｙ＋ｘ ｘｙ ＝－２，所以ｘ＋ｙ＝－２ｘｙ． 所以原式 ＝ （ｘ＋ｙ）－ｘｙ３（ｘ＋ｙ）＋５ｘｙ＝ －２ｘｙ－ｘｙ ３×（－２ｘｙ）＋５ｘｙ＝３． 故填３． 书 一、运用乘法分配律简化运算 例１　化简：（ ２ｍ ｍ２－４ ＋ １２－ｍ）÷ １ ｍ＋２＝ ． 分析：先把除法运算转化为乘法运算，然后运用乘 法分配律求解即可． 解：原式 ＝［ ２ｍ （ｍ＋２）（ｍ－２）＋ １ ２－ｍ］·（ｍ＋２） ＝ ２ｍ （ｍ＋２）（ｍ－２）·（ｍ＋２）＋ １ ２－ｍ·（ｍ＋２） ＝ ２ｍｍ－２－ ｍ＋２ ｍ－２＝ ２ｍ－ｍ－２ ｍ－２ ＝ ｍ－２ ｍ－２＝１． 故填１． 二、运用乘法公式简化运算 例２　计算：（ｙｘ－ ｘ ｙ）（ ｙ ｘ＋ ｘ ｙ）（ ｙ２ ｘ２ ＋ｘ ２ ｙ２ ）． 分析：本题符合平方差公式的特点，应连续运用平 方差公式后求解． 解：原式＝（ｙ ２ ｘ２ －ｘ ２ ｙ２ ）（ ｙ２ ｘ２ ＋ｘ ２ ｙ２ ）＝ｙ ４ ｘ４ －ｘ ４ ｙ４ ＝ｙ ８－ｘ８ ｘ４ｙ４ ． 三、运用裂项相消简化运算 例 ３　 计 算： １ｘ－１ ＋ １ （ｘ－１）（ｘ－２） ＋ １ （ｘ－２）（ｘ－３）． 分析：观察式子的后两项，我们会发现它们的分母 都是差为１的两个因式乘积的形式，且分子为１，故可用 １ ｎ（ｎ＋１）＝ １ ｎ－ １ ｎ＋１将式子变形后再计算． 解：原式＝ １ｘ－１＋ １ ｘ－２－ １ ｘ－１＋ １ ｘ－３－ １ ｘ－２ ＝ １ｘ－３． 四、运用分离整式简化运算 例４　计算：ｘ ２＋４ｘ＋５ ｘ＋２ － ｘ２＋６ｘ＋１０ ｘ＋３ ＋１． 分析：由于ｘ２＋４ｘ＋５＝（ｘ＋２）２＋１，ｘ２＋６ｘ＋１０ ＝（ｘ＋３）２＋１，故本题的两个分式都可先逆用同分母分 式的加法法则，即运用 ａ＋ｂ ｃ ＝ ａ ｃ＋ ｂ ｃ，分离出一个整 式和一个较简单的分式，合并后再通分． 解：原式＝（ｘ＋２） ２＋１ ｘ＋２ － （ｘ＋３）２＋１ ｘ＋３ ＋１ ＝ｘ＋２＋ １ｘ＋２－ｘ－３－ １ ｘ＋３＋１ ＝ １ｘ＋２－ １ ｘ＋３＝ ｘ＋３－（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ＋３） ＝ １ ｘ２＋５ｘ＋６ ． 书 一、分母是单项式 分母是单项式，应取各 分母