专题8.2离散型随机变量及数字特征（七个重难点突破）-2023-2024学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

专题8.2离散型随机变量的分布列及数字特征 知识点1随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 知识点2两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 知识点3离散型随机变量的均值与方差 ①离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： ②均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 重难点1随机变量与离散型随机变量的辨析 【例1】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张用来买晚餐，用表示这两张金额之和，则的可能取值为 ． 【变式1-1】下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么可能的取值有哪些？ (1)一个实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X； (2)明天的降雨量L（单位：mm）； (3)先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X． 【变式1-2】连续不断地射击某一目标，首先击中目标需要的射击次数是一个随机变量，则表示的试验结果是 ． 【变式1-3】某公司的员工是按照下述方式获取税前的月工资：底薪1000元，设工作1h再获得40元，从该公司员工中任意抽取一名用Y表示所获月工资（单位：元）.（X为工作小时数） (1)当时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式． 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法:（1）明确随机试验的所有可能结果；（2）将随机试验的试验结果数量化；（3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是. 重难点2离散型随机变量的分布列 【例3】全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 0 1 3 12 20 4 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列． 【例4】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的分布列. 【变式2-1】掷两颗骰子，用X表示两点数差的绝对值.求X的分布. 【变式2-2】同学甲进行一种闯关游戏，该游戏共设两个关卡，闯关规则如下：每个关卡前需先投掷一枚硬币，若正面朝上，则顺利进入闯关界面，可以开始闯关游戏；若反面朝上，游戏直接终止，甲同学在每次进入闯关界面后能够成功通过关卡的概率均为，且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行． (1)同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率； (2)同学甲成功通过关卡的个数为，求的分布列． 【变式2-3】中国的CT机打破了欧美30年的技术垄断，实现了从无到有的突破，中国的CT机不仅在技术上达到了国际水平，而且在价格上也更具竞争力.此外，中国的CT机还具有更好的定制化服务，能够更好地满足不同地区和不同医疗机构的需求，明峰医疗和联影医疗是中国CT机行业中的佼佼者.2023年8月某医院购进甲型CT机2台，乙型CT机1台，该医院决定按照以下方案调试新机器：每台设备最多进行2次调试，只要调试成功就投入使用，每次调试费用0元：如果两次调试均不成功，则邀请生产商上门调试，生产商调试一台医院调试不成功的CT机需要额外支付1000元，生产商调试后直接投入使用；其中医院对甲机型每次调试成功的概率为，对乙机型每次调试成功的概率为，调试