压轴题型11 概率与统计热点压轴解答题-2024年高考数学压轴题专项训练（新九省专用）

压轴题型11 概率与统计热点压轴解答题 命题预测 概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等． 回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题． 预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。 从命题走向看，以条件概率背景下的概率联系实际生活问题，是主流趋势。 高频考法 （1）概率与其它知识的交汇问题 （2）递推概率 （3）与体育比赛规则有关的概率问题 （4）决策型问题 （5）条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 01 概率与其它知识的交汇问题 概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力 1、与数列结合的实际问题 2、与函数导数结合的实际问题 3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题 4、与统计结合的实际问题 5、与其他背景结合的实际问题 【典例1-1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响. (1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率； (2)若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，，，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H； (3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：. 【典例1-2】（2024·广东广州·一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. (1)若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值； (2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 【变式1-1】（2024·河北沧州·模拟预测）某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24． (1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率． (2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p． （i）试用含m的代数式表示p； （ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值． 【变式1-2】（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中有一个点阵，点阵中所有点的集合为，从集合中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离. (1)当时，求的分布列. (2)对给定的正整数. （i）求随机变量的所有可能取值的个数；（用含有的式子表示） （ii）求概率.（用含有的式子表示） 02 递推概率 对于一些复杂的概率问题，后一步的概率与前一步或前两步有关，通过建立概率的递推关系，利用递推关系式构造等比数列，这样复杂的概率问题就可以迎刃而解． 【典例2-1】（2024·广东湛江·一模）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，