压轴题型09 圆锥曲线常见经典压轴小题-2024年高考数学压轴题专项训练（新九省专用）

压轴题型09 圆锥曲线常见经典压轴小题 命题预测 1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等． 2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养． 高频考法 （1）阿波罗尼斯圆、蒙日圆 （2）离心率 （3）焦半径问题 （4）切线、切点弦问题 （5）焦点三角形问题 01 阿波罗尼斯圆、蒙日圆 1、在平面上给定两点A，B，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段AB的中垂线） 2、在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆． 【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【典例1-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P、Q两点，若面积的最大值为34，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高三·安徽·期末）法国数学家蒙日发现椭圆两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴和短半轴的平方和．如图所示为稀圆及其蒙日圆，点均为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，若与的面积比为，则的离心率为（    ）    A． B． C． D． 02 离心率 解决离心率问题常用方法：定义法、几何法和坐标法. 【典例2-1】（2024·高二·北京东城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高三·河北邢台·期末）在椭圆（）中，，分别是左，右焦点，为椭圆上一点（非顶点），为内切圆圆心，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在上，，则的离心率为 . 【变式2-2】（2024·山东·一模）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 03 焦半径问题 1、椭圆焦半径 椭圆 （为椭圆上任意一点） 方程 焦点 为左焦点，为右焦点 为下焦点，为上焦点 焦半径 ， ， 记忆口诀 左加右减 下加上减 2、双曲线焦半径 双曲线 （为双曲线上任意一点） 方程 焦点 为左焦点，为右焦点 为下焦点，为上焦点 焦半径 ， ， 记忆口诀 左加右减 下加上减 3、抛物线焦半径 抛物线的焦半径公式，根据定义理解和记忆即可，即：抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离． 抛物线 焦半径 记忆口诀 左准线，左加 右准线，右减 下准线，下加 上准线，上减 【典例3-1】（2024·河南焦作·模拟预测）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），为的焦点，则（    ） A． B． C．2 D． 【典例3-2】（2024·四川南充·二模）已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（    ）个． ① ② ③若点与点关于轴对称，则的面积为 ④当时，内切圆的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）过椭圆的一个