专题09 导数及其应用大题综合（含函数新定义）-【考前必刷题】备战2024年高考数学临考冲刺必刷题（天津专用）

专题09 导数及其应用大题综合 （含函数新定义） 一、解答题 1．（2024·天津河东·一模）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的最小值； (3)函数，证明：． 2．（2023·天津河北·二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值. 3．（2024·天津·一模），，已知的图象在处的切线与x轴平行或重合． (1)求的值； (2)若对，恒成立，求a的取值范围； (3)利用如表数据证明：． 1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454 4．（2024高三下·天津·专题练习）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且满足，使得，求证：． 5．（2023·天津河西·二模）已知函数，． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值； (2)求证：； (3)若函数对恒成立，求实数a的取值范围． 6．（2023·天津河西·模拟预测）已知． (1)求在处的切线方程； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求的取值范围，并证明：． 7．（2023·天津南开·二模）已知函数，. (1)求的最小值； (2)若，且，求证：； (3)若有两个极值点，证明：. 8．（2023·天津和平·三模）已知函数，，其中. (1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值； (2)若时，求函数的最小值； (3)若的最小值为，证明：当时，. 9．（2023·天津北辰·三模）已知函数，其中. (1)当时，求函数在点上的切线方程.（其中e为自然对数的底数） (2)已知关于x的方程有两个不相等的正实根，，且. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值，求k的值. 10．（2023·天津滨海新·三模）已知定义域均为的两个函数，． (1)若函数，且在处的切线与轴平行，求的值； (2)若函数，讨论函数的单调性和极值； (3)设，是两个不相等的正数，且，证明：． 11．（2023·天津津南·模拟预测）已知函数，其中. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若， （i）证明：； （ii）判断函数在上的单调性，并证明. 12．（2023·天津滨海新·三模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，求证:； (3)已知点，是否存在过点P的两条直线与曲线，相切？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 13．（2023·天津武清·模拟预测）已知函数，，． (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数k的值； (2)若恒成立，求实数k的取值范围； (3)设，证明：当时，函数存在唯一的极大值点，且． 14．（2023·天津红桥·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：（，）. 15．（2023·天津河北·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：； (3)若，且，求证： 16．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知函数．（注：是自然对数的底数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，函数在区间内有唯一的极值点． ①求实数a的取值范围； ②求证：在区间内有唯一的零点，且． 17．（2024·天津南开·一模）已知，a为函数的极值点，直线l过点， (1)求的解析式及单调区间： (2)证明：直线l与曲线交于另一点C： (3)若，求n.（参考数据：，） 18．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点； ①求证：； ②求证：． 19．（2024·天津·一模）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 20．（2024·天津和平·一模）已知函数，（为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间： (2)设在处的切线方程为，求证：当时，； (3)若，存在，使得，且，求证：当时，. 21．（2023·天津和平·二模）已知函数，其中， (1)若， （i）当时，求的单调区间； （ii）曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． (2)证明：当时，存在直线，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线． 22．（2023·天津·二模）已知，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得； (3)设，若存在，使得，证明：. 23．（2023·天津·二模）已