专题07 数列（含数列新定义）-【考前必刷题】备战2024年高考数学临考冲刺必刷题（天津专用）

专题07 数列（含数列新定义） 一、单选题 1．（2024·天津·一模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 2．（2024·天津·一模）已知为等差数列，前项和为，且，，则（    ） A．54 B．45 C．23 D．18 3．（2023·天津河西·模拟预测）已知等比数列的公比为，，其前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·天津和平·一模）已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2024·天津·一模）已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. (1)求和的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 6．（2024·天津河西·一模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求证：； (3)求的值． 7．（2023·天津河西·模拟预测）已知等差数列{}满足，为等比数列{}的前n项和，. (1)求{}，{}的通项公式； (2)设，证明：. 8．（2023·天津河西·模拟预测）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)若，求数列前项和． 9．（2023·天津南开·二模）设为等比数列，为公差不为零的等差数列，且，，. (1)求和的通项公式； (2)记的前项和为，的前项和为，证明：； (3)记，求. 10．（2023·天津和平·一模）设数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)求； (3)若，抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为，求证：当n为奇数时，. 11．（2023·天津河西·一模）数列是公差为的等差数列，其前项的和为，数列是等比数列，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的通项公式； (3)求． 12．（2023·天津北辰·三模）设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)设，求证：． 13．（2023·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，， (1)求，的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和． 14．（2023·天津河西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，， 求①； ②. 15．（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 16．（2024·天津·一模）若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“型数列”. (1)若数列满足，求的值并证明：数列是“型数列”； (2)若数列的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时， （i）求数列的通项公式； （ii）求证：. 17．（2023·天津·一模）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前项和为，求证：对任意的，都有. 18．（2024·天津和平·一模）若数列满足，其中，则称数列为M数列. (1)已知数列为M数列，当时. （ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式； （ⅱ），求. (2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得. 19．（2023·天津·二模）已知为等差数列，数列满足，且，，. (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)设的前项和为，证明：. 20．（2023·天津·二模）已知数列满足：，正项数列满足：，且，，. (1)求，的通项公式； (2)已知，求：； (3)求证：. 21．（2023·天津和平·三模）已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 22．（2023·天津津南·模拟预测）已知是公比为q的等比数列．对于给定的，设是首项为，公差为的等差数列，记的第i项为．若，且． (1)求的通项公式； (2)求； (3)求． 23．（2023·天津和平·二模）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，． (1)证明：是等比数列； (2)证明：； (3)设数列满足：．证明：． 24．（2023·天津津南·模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项