二项分布、超几何分布和正态分布 课件——2024届高三数学一轮复习

　二项分布、超几何分布和正态分布 一轮复习专题　概率与统计 高考 数学 考点清单 题型清单 目 录 考点1 二项分布 考点2 超几何分布 考点3 正态分布 题型1 二项分布的实际应用 题型2 超几何分布的实际应用 题型3 正态分布的解题策略 考点1　二项分布 1.n重伯努利试验与二项分布 (1)n重伯努利试验 ①定义:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试 验. ②用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An). (2)二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件 A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).如果随机变量X的分布 列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p). 2.二项分布的均值与方差 若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). 考点2　超几何分布 1.超几何分布的概念 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用 X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r. 其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具 有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 2.超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)= . 易错警示 “二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取 问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理. 考点3　正态分布 1.正态曲线和正态分布 函数f(x)=  ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称函数f(x)为正态密度函数,称 它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)= · ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,则 称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2). 特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布. 2.正态曲线的特点 (1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. (2)曲线在x=μ处达到峰值 . (3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. (4)曲线与x轴之间的区域的面积总为1. (5)在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图① 所示. (6)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变 量X的分布比较集中;σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散, 如图②所示.        3.正态分布在三个特殊区间内取值的概率. (1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7. (2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. (3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 温馨提示 　　若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1. 即练即清 1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”) (1)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的 概率分布列,它表示了n重伯努利试验中事件A发生的次数的概率分布. (　    ) (2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球,连取3次,则取到红球的个数 X服从超几何分布. (　    ) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数,参数μ是正态分布的均值,σ 是正态分布的标准差. (　    ) 2.如果某一批玉米种子中,每粒发芽的概率均为 ,那么播下5粒这样的种子,恰有2粒不 发芽的概率是　　　    . √ √ × 题型1　二项分布的实际应用 1.确定一个二项分布模型的步骤如下: (1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p; (2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性; (3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p). 2.利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤 (1)根据题意设出随机变量; (2)分析随机变量是否服从二项分布; (3)若服从二项分布,则求出参数n和p的值; (4)根据需要列出相关式子并解决问题. 例1    (2023广东大湾区第二次联考,20)某工厂车间有6台相同型号的机器,各台机器相 互独立工作,工作时发生故障的概率都是 ,且一台机器的故障由一个维修工处理.已知 此厂共有甲、乙、丙3名维修工,现有两种配备方案,