专题10直线、平面垂直的判定与性质（四大题型，重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高一数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题10 直线、平面垂直的判定与性质 考点一 直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 考点二 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 考点三 知识拓展 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 重难点题型突破01 线面垂直性质定理 例1．（2024·辽宁鞍山·二模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（    ） A．如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 B．如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 C．如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 D．如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 【变式训练1】、（2024高一·江苏·专题练习）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(    ) A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式训练2】、（2024高三·江苏·专题练习）如图，在四棱柱中，，，，，M，N分别是棱和的中点，则下列说法中正确的是 （填写序号）    ①四点共面    ②与共面 ③平面    ④平面 重难点题型突破02 线面垂直判定定理 例3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 例4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，. (1)证明：平面. (2)若，求三棱锥的体积. 【变式训练3】、（2024·江苏常州·一模）如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）. (1)当点是棱的中点时，求证：直线平面； (2)当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度. 【变式训练4】、（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，为棱上靠近的三等分点，为线段上的动点.    (1)求证：平面； (2)若四面体的体积为，求的正弦值. 重难点题型突破03 面面垂直性质定理 例5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，现有下列四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．②③ 例6．（2024高三·全国·专题练习）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列说法： ①若，且，则； ②若，且，则且； ③若，，则．其中正确的是 ． 【变式训练5】、（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则且 C．若，则 D．若，则 【变式训练6】、（2024·云南曲靖·一模）（多选题）如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于点，以下四个命题中正确的是（    ） A．四边形一定为菱形 B．四棱锥体积为 C．平面平面 D．四边形的周长最小值为4 重难点题型突破04 面面垂直判定定理 例7．（2024·陕西咸阳·二模）如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，． (1)求证：平面平面； (2)求该几何体的体积． 例8．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在多面体ABCDE中，A，B，E，D四点共面，，，，，，F为BC的中点． (1)求证：平面ADF