压轴题型08 数列通项、求和及综合灵活运用-2024年高考数学压轴题专项训练（新九省专用）

压轴题型08 数列通项、求和及综合灵活运用 命题预测 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注． 高频考法 （1）数列通项、求和问题 （2）数列性质的综合问题 （3）实际应用中的数列问题 （4）以数列为载体的情境题 （5）数列放缩 01 数列通项、求和问题 1、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式： （1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出； （2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题； （3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题． 2、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论． 3、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同． 常见的裂项公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 4、用错位相减法求和时的注意点： （1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 5、分组转化法求和的常见类型： （1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和； （2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和； （3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题． 【典例1-1】（2024·河北沧州·一模）在数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中的和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…；在和之间插入个数，使成等差数列，这样可以得到新数列，设数列的前项和为，求（用数字作答）． 【典例1-2】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知等比数列的首项为，公比为整数，且. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，比较与的大小关系，并说明理由. 【变式1-1】（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【变式1-2】（2024·青海西宁·二模）已知各项都是正数的等比数列的前3项和为21，且，数列中，，若是等差数列，则 ． 02 数列性质的综合问题 1、在等差数列中，若（，，，，），则． 在等比数列中，若（，，，，），则． 2、前项和与积的性质 （1）设等差数列的公差为，前项和为． ①，，，…也成等差数列，公差为． ②也是等差数列，且，公差为． ③若项数为偶数，则，． 若项数为奇数，则，． （2）设等比数列的公比为，前项和为 ①当时，，，，…也成等比数列，公比为 ②相邻项积，，，…也成等比数列，公比为． ③若项数为偶数，则，；项数为奇数时，没有较好性质． 3、衍生数列 （1）设数列和均是等差数列，且等差数列的公差为，，为常数． ①的等距子数列也是等差数列，公差为． ②数列，也是等差数列，而是等比数列． （2）设数列和均是等比数列，且等比数列的公比为，为常数． ①的等距子数列也是等比数列，公比为． ②数列，，，，， 也是等比数列，而是等差数列． 【典例2-1】（2024·山西晋城·二模）已知等差数列的前n项和为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·北京顺义·二模）设，，，…，是1，2，3，…，7的一个排列.且满足，则的最大值是（    ） A．23 B．21 C．20 D．18 【变式2-1】（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选题）（2024·浙江绍兴·二模）已知等