第9章 中心对称图形——平行四边形（5种模型与解题方法）-2023-2024学年八年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形（5种模型与解题方法） 题型一：中点四边形 题型二：正方形中的十字架模型 题型三：四边形中的对角互补模型 题型四：与正方形有关三垂线 题型五：正方形与45°角的基本图 题型一：中点四边形 “中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态： （原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形） （一）中点四边形一定是平行四边形 1. 当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形 2. 当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形 3. 当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形 （二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和 （三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一 一．选择题（共2小题） 1．（2022•宜兴市校级二模）如图，四边形中，点、、、分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件是　　 A． B． C．且 D．不确定 2．（2024春•灌南县期中）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需添加的条件是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共3小题） 3．（2023春•金湖县期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，，则的长为 　　． 4．（2023春•扬州校级期中）如图，王大爷家小院子的四棵小树，，，刚好在其四边形院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是 　 　． 5．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，菱形中，点为对角线的交点，、、、是菱形的各边中点，若，，则四边形的面积为 　　． 三．解答题（共3小题） 6．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形中，点、、、分别是、、、的中点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当对角线与满足什么关系时，四边形是菱形，并说明理由． 7．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形中，点、、、分别为、、、的中点， （1）求证：中点四边形是平行四边形； （2）如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点、、、分别为、、、的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 8．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． （1）这个中点四边形的形状是 　 　； （2）如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明． 题型二：正方形中的十字架模型 一．选择题（共1小题） 1．（2024春•启东市校级月考）如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共3小题） 2．（2023春•宿豫区期中）如图所示，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为 　 　． 3．（2021春•睢宁县月考）如图，点、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下面四个结论：（1），（2），（3），（4），其中正确结论的序号是 　 　． 4．（2023春•建邺区校级期末）如图，四边形，四边形分别是菱形与正方形．若，则　 　． 三．解答题（共2小题） 5．（2022春•吴中区校级期中）如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，．求证：． 6．（2023春•淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：　 　（填“”或“” ； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 题型三：四边形中的对角互补模型 模型1:全等形一-90°对角互补模型 模型2:全等形--120°对角互补模型 模型 3:全等形一一任意角对角互补模型 模型4:相似形一-90°对角互补模型（后面会学到） 一．选择题（共1小题） 1．（2023春•金湖县期中）如图，是的对角线，点在上，，，则是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共1小题） 2．（2023春•通城县期中）如图，