压轴题型07 立体几何解答题罕见压轴难题-2024年高考数学压轴题专项训练（新九省专用）

压轴题型07 立体几何解答题罕见压轴难题 命题预测 空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度． 高频考法 （1）非常规空间几何体为载体 （2）立体几何探索性问题 （3）立体几何折叠问题 （4）利用传统方法找几何关系建系 01 非常规空间几何体为载体 找清楚几何关系再用空间向量法解决. 【典例1-1】（2024·高三·江苏淮安·期中）如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．    (1)证明：平面： (2)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值． 【典例1-2】（2024·四川泸州·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，且平面平面．，分别是，的中点，经过，，三点的平面与棱交于点，平面平面，直线与直线交于点．    (1)求的值； (2)若，求多面体的体积． 【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且 (1)写出三条正六棱台的结构特征. (2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：） (3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!” “小迷糊”：“.....” 亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧. 02 立体几何探索性问题 （1）解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在． （2）在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理，利用向量相等，所求点坐标用表示，再根据条件代入，注意的范围． （3）利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探索性问题转化为方程是否有解的问题进行处理． 【典例2-1】（2024·高三·山东·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，且平面平面．    (1)求证：； (2)当AC与平面所成的角为，在线段上是否存在点E，使平面ABE与平面BCE的夹角为?说明理由． 【典例2-2】（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【变式2-1】（2024·高三·安徽六安·阶段练习）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点. (1)求证：； (2)棱（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 03 立体几何折叠问题 立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 【典例3-1】（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点． (1)在三棱锥中，证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【典例3-2】（2024·高三·上海·阶段练习）如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到， (1)求证：平面平面； (2)设面面，求证：； (3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值． 【变式3-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上. (1)求二面角的正切值； (2)点F为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点Q，使得直