专题15 全等三角形辅助线之旋转模型（压轴题，20题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

专题15 全等三角形辅助线之旋转模型（压轴题，20题）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ． 2．△ABC和△DCE是等边三角形，则在下图中，△ACE绕着 点 旋转 度可得到△BCD． 二、解答题 3．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 4．在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 5．如图所示，点是等边三角形内一点，∠AOB=110°，，以为边作等边三角形，连接 （1）当=150°时，试判断的形状，并说明理由； （2）探究：当为多少度时，是以为底的等腰三角形？ 6．如图，已知和中，，，，，，线段分别交，于点，． （1）请说明的理由； （2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换； （3）求的度数． 7．如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 8．如图1，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在中，，，试回答下列问题： （1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时， 度； （2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若，，求MN． （3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由． 9．已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系：______，位置关系：_______． （2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由． （3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为______． 10．问题发现： 如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求的度数，并确定线段BD与CE的数量关系． 拓展探究： 如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，于F，连接CE，求的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系． 11．小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长． (1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： (2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 12．在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 13．【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板    （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，连接