2024年九年级中考数学复习回归教材重难点11 二次函数与几何的综合应用 讲义

回归教材重难点11 二次函数与几何的综合应用 二次函数的综合应用是初中《二次函数》章节的重点内容,考查的相对比较综合,把二次函数图像与性质结合起来,联系几何图形的性质综合考查。在中考数学中,主要是以解答题形式出现。通过熟练二次函数性质,提升数学学科素养,提高逻辑思维推断能力。 本考点是中考五星高频考点,在全国各地的中考试卷中均有出现,题目难度较大,甚至有些地方将其作为解答题的压轴题。 1.几何图形存在性问题; 2.最值问题(长度、面积); 3.证明定值问题; 4.相似问题 1.(2021 甘肃兰州 中考真题)如图1,二次函数的图象交坐标轴于点,,点为轴上一动点. (1)求二次函数的表达式; (2)过点作轴分别交线段,抛物线于点,,连接.当时,求的面积; (3)如图2,将线段绕点逆时针旋转90得到线段. ①当点在抛物线上时,求点的坐标; 第1页/共34页 学科网(北京)股份有限公司 ②点在抛物线上,连接,当平分时,直接写出点P的坐标. 【答案】(1);(2);(3)①或;②或. 【分析】(1)根据点的坐标以及已知条件,将的坐标代入即可求得的值,进而求得抛物线的解析式; (2)依题意根据(1)的解析式求得的坐标,进而求得,据此求得,根据进而求得的坐标,根据即可求得的面积; (3)①过作轴,分点在轴上方和下方两种情况讨论,证明,设,将点的坐标代入(1)中抛物线解析式中即可求得点的坐标情形2,方法同情形1; ②分当不平行于轴和轴两种情况讨论,当当不平行于轴时,过点作交于点,过点作于点,证明进而可得的坐标,当轴时,结合已知条件即可求得的坐标. 【详解】(1)二次函数的图象经过,,解得 , (2)由,令,解得, ,当时, ,,则 ; (3)如图,当点在轴下方时,过点作于点, 由,令, 解得 第2页/共34页 学科网(北京)股份有限公司 , , 将线段绕点逆时针旋转90得到线段, ,, 设, 点在抛物线上, 解得(舍) 当点在轴上方时,如图, 过点作于点,设 同理可得 第3页/共34页 学科网(北京)股份有限公司 点在抛物线上, 解得(舍去), 综上所述,或; ②当不平行于轴时,过点作交于点,过点作于点,如图, 平分,, , , , 当不平行于轴时,重合, 第4页/共34页 学科网(北京)股份有限公司 , 当轴时,如图, 此时 则 综上所述,当平方时,点的坐标为或. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数与坐标轴交点,正切的定义,三角形全等的性质与判定,分类讨论是解题的关键. 2.(2021 辽宁沈阳 中考真题)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,拋物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B坐标是.拋物线与y轴交于点,点P是拋物线的顶点,连接. (1)求拋物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标. (2)直线与拋物线对称轴交于点D,点Q为直线上一动点. ①当的面积等于面积的2倍时,求点Q的坐标; ②在①的条件下,当点Q在x轴上方时,过点Q作直线l垂直于,直线交直线l于点F,点G在直线上,且时,请直接写出的长. 第5页/共34页 学科网(北京)股份有限公司 【答案】(1),顶点坐标为(1,4);(2)(2,1)或;②或. 【分析】(1)将和代入利用系数法求函数解析式,然后将一般式化为顶点式求顶点坐标; (2)①求出的面积,设利用求得; ②利用列出方程,求出点的坐标,根据联立直线和的关系式,求出的坐标,从而求得. 【详解】解(1)由题意得,,,,. (2)①如图1, 作于, ,, 直线, ,可设, 第6页/共34页 学科网(北京)股份有限公司 , , , 或. 或. ②如图2, 设, 由得,, 化简,得, ,, ,,, 作于, , , , 即:, , ,, 第7页/共34页 学科网(北京)股份有限公司 设直线是:, ,解得 , 由,解得 , , , 综上,的长为或. 【点睛】本题考查了二次函数,一次函数图象和性质及相似三角形等知识,解决问题的关键将点的坐标化成长度,转化成图形的相似等知识. 3.(2021 四川德阳 中考真题)如图,已知:抛物线y=x2+bx+c与直线l交于点A(﹣1,0),C(2,﹣3),与x轴另一交点为B. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上找一点P,使 ACP的内心在x轴上,求点P的坐标; (3)M是抛物线上一动点,过点M作x轴的垂线,垂足为N,连接BM.在(2)的条件下,是否存在点M,使∠MBN=∠APC?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)P(4,5);(3)存在符合条件的点M,M的坐标为,,, 【分析】(1)把点A,C代入抛物线的解析式,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)先作出点C关于x轴的对称点C',然后连接AC'并