2024年九年级中考数学复习回归教材重难点02 二次函数图像与系数a，b，c之间关系讲义

回归教材重难点02 二次函数图像与系数a,b,c之间关系 二次函数图像与系数a,b,c之间关系是九年级《二次函数》的重点内容,通过对理解并掌握各个字母的意义,要求考生熟练的运用根的判别式及韦达定理,并做到会读图、识图。提升数学学科素养,提高逻辑思维推断能力。 本考点是中考五星高频考点,在全国各地的中考试卷中均有出现,题目难度中等偏上或者较大,个别地方将其放在选填题的最后一道。 二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置. 1.(2021 山东日照 中考真题)抛物线的对称轴是直线,其图象如图所示.下列结论:①;②;③若和是抛物线上的两点,则当时,;④抛物线的顶点坐标为,则关于的方程无实数根.其中正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 第1页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 【分析】①由图象开口方向,对称轴位置,与轴交点位置判断,,符号.②把分别代入函数解析式,结合图象可得的结果符号为负.③由抛物线开口向上,距离对称轴距离越远的点值越大.④由抛物线顶点纵坐标为可得,从而进行判断无实数根. 【详解】①抛物线图象开口向上,, 对称轴在直线轴左侧,,同号,, 抛物线与轴交点在轴下方,,,故①正确. ②, 当时,由图象可得, 当时,,由图象可得, ,即,故②正确. ③,, ,点,到对称轴的距离大于点,到对称轴的距离, ,故③错误. ④抛物线的顶点坐标为,,, 无实数根.故④正确, 综上所述,①②④正确, 故选:B. 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质,解题关键是熟练掌握二次函数中,,与函数图象的关系. 2.(2021 黑龙江齐齐哈尔 中考真题)如图,二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为,对称轴为,结合图象给出下列结论: ①; ②; ③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1; ④若点,,均在二次函数图象上,则; ⑤(m为任意实数). 其中正确的结论有( ) 第2页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断. 【详解】解:∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为, ∴当x=1时,,故结论①正确; 根据函数图像可知, 当,即, 对称轴为,即, 根据抛物线开口向上,得,∴,∴, 即,故结论②正确; 根据抛物线与x轴的一个交点为, 对称轴为可知:抛物线与x轴的另一个交点为(-3,0), ∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1,故结论③正确; 根据函数图像可知:,故结论④错误; 当时,, ∴当时,, 即,故结论⑤错误,综上:①②③正确, 故选:C. 【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质,正确理解二次函数与方程的关系. 第3页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 3.(2021 湖北鄂州 中考真题)二次函数的图象的一部分如图所示.已知图象经过点,其对称轴为直线.下列结论:①;②;③;④若抛物线经过点,则关于的一元二次方程的两根分别为,5,上述结论中正确结论的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解. 【详解】解:①由图象可知,a<0,b>0,c>0, ∴abc<0,故①正确; ②∵对称轴为直线x= =1,且图象与x轴交于点(﹣1,0), ∴图象与x轴的另一个交点坐标为(3,0),b=﹣2a, ∴根据图象,当x=2时,y=4a+2b+c>0,故②错误; ③根据图象,当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c<0,故③正确; ④∵抛物线经过点, ∴根据抛物线的对称性,抛物线也经过点, ∴抛物线与直线y=n的交点坐标为(﹣3,n)和(5,n), ∴一元二次方程的两根分别为,5, 故④正确, 综上,上述结论中正确结论有①③④, 故选:C. 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键. 4.(2021 江苏宿迁 中考真题)已知二次函数的图像如图所示,有下列结论:①;② 第4页/共15页 学科网(北京)股份有限公司 >0;③;④不等式<0的解集为1≤<3,正确的结论个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误,再根据函数图象的特征确定出函数的解析式,