全等三角形基本模型综合训练（四）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形基本模型探究（北师大版）

全等三角形基本模型综合训练（四） 一、解答题 1．现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 2．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 3．农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20 m,求这块试验田的面积. 4．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．    求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使，    ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴（依据一）∴ 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；    任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．    5．综合与实践 如图①，Rt△ABC中，∠ACB= 90° ，CD为Rt△ABC的斜边上的中线，在证明CD=AD= BD的过程中，我们可以延长CD到E，使得CD=DE ，连接BE．很容易证明∠ACD≌△BED，进而证明△ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD= AD= BD．我们可以得到直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 实践操作： 将两个全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起 ，如图②，△ABD不动． 问题解决： （1）将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB，MC，如图③，求证：MB=MC； 拓展延伸： （2）若将图②中的CE向上平移，且∠CAE不变，连接DE ，M是DE的中点，连接MB ，MC，如图④，则线段MB，MC的数量关系为 ； 问题再探： （3）在（2）的条件下，若∠CAE改变大小，如图⑤，其他条件不变，请你判断线段MB ，MC的数量关系还成立吗?请说明理由． 6．已知，在中，，．    (1)猜想按角分类的类型，并证明你的结论； (2)如图1，若点是线段上一点，连接，过点作于点，若．求的度数； (3)如图2，若点是线段上一点，且，过点作，，连接交于点．求值为多少？ 7．在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 8．已知在中，点，分别是边，上的动点，连接、交于点．      (1)如图1，在等边中，，求证