压轴题型06 立体几何常考经典压轴小题-2024年高考数学压轴题专项训练（新九省专用）

压轴题型06 立体几何常考经典压轴小题 命题预测 高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上． 预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力． （2）热点是简单几何体的表面积或体积，最短路径问题，截面问题. 高频考法 （1）外接球、内切球、棱切球与截面面积问题 （2）体积、面积、周长、角度、距离问题 （3）立体几何中的交线与轨迹问题 （4）空间线段以及线段之和最值问题 （5）空间角问题 01 外接球、内切球、棱切球与截面面积问题 球的截面的性质： ①球的任何截面是圆面； ②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面； ③球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为． 注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的． 【典例1-1】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·浙江绍兴·二模）在边长为4的正三角形中，E，F分别是，的中点，将沿着翻折至，使得，则四棱锥的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得直线与直线相交 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的大小为 D．平面被正方体所截得的截面面积为 【变式1-2】（2024·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 02 体积、面积、周长、角度、距离问题 1、几类空间几何体表面积的求法 （1）多面体：其表面积是各个面的面积之和． （2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和． （3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补． 2、几类空间几何体体积的求法 （1）对于规则几何体，可直接利用公式计算． （2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解． （3）锥体体积公式为，在求解锥体体积时，不能漏掉. 3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形． 【典例2-1】（2024·黑龙江·二模）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面与半球底面之间的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形.若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图的五面体由棱长为2的正四面体与正四棱锥构成．若平面与平面平行，且把五面体分成体积相等的两部分，则平面与平面之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·北京门头沟·一模）如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则下列结论正确的个数是（    ） （1）三棱锥的体积为定值； （2）直线与平面所成的角的大小不变； （3）直线与所成的仍的大小不变， （