第6章 计数原理（单元提升卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第6章 计数原理（单元提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．已知二项式，其展开式中含项的系数为 　　． 2．的二项展开式中的常数项为 　　． 3．若，则正整数的值为 　　． 4．若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是 　　． 5．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是 　　． 6．有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 　　种． 7．4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 　　．（结果用数字作答） 8．某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 　　种不同的选择方法． 9．设，若，且，则　　． 10．在的展开式中，记项的系数为，则，，　　． 11．设，，，为1，2，，23的一个排列，满足，则这样的排列的个数为 　　个． 12．设，为的展开式的各项系数之和，表示不超过实数的最大整数），则的最小值为 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为　　 A． B． C． D． 14．设，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 15．某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有　　 A． B． C． D． 16．已知，则被10除所得的余数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知． （1）若，求中含项的系数； （2）若，求的值； 18．（1）二项式的展开式中系数为有理数的项的个数有多少个？ （2）已知事件与互斥，事件、同时发生的概率为，且，求（A）． 19．为预防病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如表： 组 组 组 疫苗有效 673 疫苗无效 77 90 已知在全体样本中随机抽取1个，抽到组疫苗有效的概率是0.33． （1）求的值； （2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在组抽取多少个？ （3）已知，，求不能通过测试的概率． 20．规定，其中，是正整数，且这是组合数，是正整数，且的一种推广． （1）的值； （2）组合数的两个性质：；是否都能推广到的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由； （3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，． 21．在的展开式中，把，，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 计数原理（单元提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．已知二项式，其展开式中含项的系数为 　45　． 【分析】利用二项式定理求出含的项，由此即可求解． 【解答】解：展开式中含的项为， 所以的系数为45． 故答案为：45． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题． 2．的二项展开式中的常数项为 　160　． 【分析】直接利用二项式的展开式和组合数求出结果． 【解答】解：根据二项式的展开式：，1，2，3，4，5，， 当时，常数项为． 故答案为：160． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 3．若，则正整数的值为 　5或7　． 【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案． 【解答】解：由组合数性质：，可得，则， 所以或，解得或． 故答案为：5或7． 【点评】本题主要考查组合数公式，属于基础题． 4．若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选