专题13 几何探究综合题（精选32题）【好题汇编】-2024年中考数学一模试题分类汇编（广东专用）

专题12 几何探究题（精选32题） 三角形综合探究题 1．（2024•番禺区校级一模）课本再现 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°．我们是通过度量或剪拼得出这一结论的，图（1）、（2）分别是两位同学拼合的图形． 定理证明 （1）请你证明“三角形的内角和是180°”． 已知：△ABC（如图（3））． 求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 深入探究 （2）三角形的内角和是180°，那么四边形（如图（4））的内角和是多少度呢？请你证明你的结论． 结论应用 （3）如图（5），在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝8，D为AC的中点，点E在AB上，且∠CDE+∠B＝180°，求AE的长． 2．（2024•惠城区一模）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围； （2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值； （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形． 3．（2024•福田区校级一模）【问题背景】 （1）如图1，在△ABC中，D为AC上一点，∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD•AC． 【尝试应用】 （2）如图2，在△ABC中，∠A＝30°，，△ABC面积为6，求证：∠ABD＝∠C． 【拓展创新】 （3）在△ABC中，∠A＝45°，△ABC面积为，D为△ABC外一点，DA＝DB＝1，，直接写出AB的长． 4．（2024•龙湖区一模）综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD． 操作发现： （1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是　 　． （2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由． 实践探究： （3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值． （4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是　 　cm． 5．（2024•东莞市校级一模）（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连接PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求的值． （3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AB＝mAC，CQ＝nAC（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 四边形综合探究题 6．（2024•南山区校级一模）探究： 如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°． （1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系； ②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，请直接写出DE的长． 7．（2024•福田区一模）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，连接B