第02讲 因式分解-分组分解法和十字相乘法（知识解读+达标检测）-2023-2024学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第02讲 因式分解-分组分解法和十字相乘法 【题型1 实数范围内因式分解】 【题型2 十字相乘法】 【题型3 分组分解法】 【题型4 因式分解的应用】 知识点1：实数范围内因式分解 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【典例1】（2023秋•宝山区期末）在实数范围内分解因式：x2+4x+1＝　 　． 【变式1-1】（2023秋•林州市期末）在实数范围内因式分解x2﹣3＝　 　． 【变式1-2】（2023秋•岳麓区校级期末）在实数范围内分解因式：3a2﹣18＝　 　． 【变式1-3】（2023秋•闵行区校级期末）在实数范围内分解因式：x2﹣5x+3＝　 　． 【变式1-4】（2023•宝应县二模）在实数范围内分解因式：a3﹣3a＝　 　． 知识点2：十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【典例2】（2023春•子洲县期末）阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）． 例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）； ②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）． 根据材料，把下列式子进行因式分解． （1）x2﹣6x+8； （2）x2﹣2x﹣15； （3）（x﹣4）（x+7）+18． 【变式2-1】（2023秋•嵩县期末）若x2+kx﹣15能分解为（x+5）（x﹣3），则k的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 【变式2-2】（2023秋•太和县期末）多项式a2﹣5a﹣6因式分解的结果是（　　） A．（a﹣2）（a+3） B．（a﹣6）（a+1） C．（a+6）（a﹣1） D．（a+2）（a﹣3） 【变式2-3】（2023秋•高青县期末）代数式x2+17x+60分解因式的结果是（　　） A．（x﹣5）（2x﹣12） B．（x+5）（x+12） C．（x+2）（x﹣30） D．（x+6）（x+10） 知识点3：分组分解法 定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法． 分组分解的步骤 1. 将原式的各项适当分组； 2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）； 3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 【典例3】（2023秋•武隆区期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b） ＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b） ＝（2﹣3b）（a﹣2） 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2﹣3b） 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： （Ⅰ）因式分解：x2﹣a2+x+a； （Ⅱ）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2． 【变式3-1】（2023秋•金山区期末）因式分解：x2﹣4xy﹣4+4y2． 【变式3-2】（2023秋•杨浦区期末）因式分解：2a2﹣6bc+4ab﹣3ac． 【变式3-3】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：a3﹣a+2a2b+ab2． 知识点4：因式分解的应用 因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不