第03讲 全等三角形的应用（知识解读+达标检测）-2023-2024学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第03讲 全等三角形的应用 【题型1利用三角形全等测量能到两端的距离】 【题型2 利用三角形全等求两端的距离】 【题型3利用三角形全等测量物体的内径】 【题型4 利用三角形全等解决面积问题】 【题型5 利用三角形全等解决其他问题】 知识点：全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【题型1利用三角形全等测量能到两端的距离】 【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，根据两个三角形全等，那么量出DE的长就是A，B的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【变式1-1】（2024•新乐市一模）为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E．则测出DE的长即为A，B间的距离； 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可直接到达点A的点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，则测出BC的长即为AB间的距离，则下列判断正确的是（　　） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 【变式1-2】（2023秋•临邑县期末）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【变式1-3】（2023秋•成武县期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　） A．SAS B．AAA C．ASA D．SSS 【题型2 利用三角形全等求两端的距离】 【典例2】（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 【变式2-1】（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度． 【变式2-2】（2023秋•安康期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC． 【题型3利用三角形全等测量物体的内径】 【典例3】（2023秋•宽城区期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 【变式3-1】（2023秋•南宁期末）如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点固定，利用全等三角形知识，测得CD的长就是锥形瓶内径AB的长．其中，判定△AOB和△DOC全等的方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【题型4 利用三角形全等解决面积问题】 【典例4】（2022秋•仙居县期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形ABCD），测