专题10 一次函数几何压轴（十九种题型）-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题10 一次函数几何压轴（十九种题型） 模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法） 模型2：一次函数已知面积求动点坐标 模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标 模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标 模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标 模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标 模型7：一次函数存在45°求动点坐标 模型8：一次函数存在等角求动点坐标 模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标 模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标 模型11：一次函数过定点问题 模型12：一次函数与线段结合求动点问题 模型13：一次函数与动点线段比例问题 模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标 模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题 模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标 模型17：一次函数存在矩形求动点坐标 模型18：一次函数存在菱形求动点坐标 模型19：一次函数存在正方形求动点坐标 【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积 【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径： ①知底求高、转化线段； ②图形割补、面积和差； ③平行交轨、等积变换。 【技巧点睛3】处理线段问题 （1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 【技巧点睛4】角度问题 （1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。 （2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。 【技巧点睛5】最值问题 （1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑； （2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型 【技巧点睛6】特殊三角形存在问题 等腰三角形存在性问题 1、找点方法： ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B 构成以 A 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三 角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 2、求点方法： 2、 直角三角形存在性问题 若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。 【技巧点睛6】四边形存在问题 1．坐标系中的平行四边形： （1）对边平行且相等： （2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合． 以上两条可统一为： 总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等 方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意 模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法） 【典例1】在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x+b经过点B，交y轴于点D． （1）求证：△AOC≌△CEB； （2）求△ABD的面积． 【变式1】（2023秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB． （1）求直线l1的解析式； （2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）； 模型2：一次函数已知面积求动点坐标 【典例2】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B（0，2），过点C（2，0）作x轴的垂线，与直线AB交于点D． （1）求点D的坐标； （2）点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F．若△BDF的面积为8，求点F的坐标； 【变式1】如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）点P在