压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题-2024年高考数学压轴题专项训练（新九省专用）

压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题 命题预测 有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养. 预计预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小． （2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 高频考法 （1）函数嵌套、零点嵌套问题 （2）零点问题 （3）导数的同构思想 （4）双重最值问题 （5）构造函数解不等式 01 函数嵌套、零点嵌套问题 解决嵌套函数零点个数的一般步骤 (1)换元解套,转化为与的零点. (2)依次解方程,令,求,代入求出的值或判断图象交点个数. 【典例1-1】（上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三学期第三次月考数学试题）已知函数是定义在的偶函数，当时，，若函数有且仅有个不同的零点，则实数取值范围 . 【典例1-2】（安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三学期期中联考数学试题）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【变式1-1】（海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2024届高三高考全真模拟卷（二）数学试题）已知函数，若函数有6个零点，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（河南省部分重点高中2023-2024学年高三阶段性考试（四）数学试题）已知函数若函数恰有8个零点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 02 零点问题 （1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决； （3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典例2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2-2】（2024·四川成都·三模）若函数大于0的零点有且只有一个，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D． 【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 03 导数的同构思想 同构式的应用： （1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根 （2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路> ①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键； ③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围. 【典例3-1】（2024·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高三·四川雅安·开学考试）当时，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高三·安徽·开学考试）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 04 双重最值问题 解决双重最值问题常用秘籍： （1）利用不等式的性质 （2）利用绝对值不等式 （3）利用均值不等式 （4）分类讨论 （5）构造函数 【典例4-1】（2024·广东韶关·二模）定义，对于任意实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . 【变式4-1】（2024·高三·江苏·阶段练习）若，，则 . 【变式4-2】（2024·湖北·一模）记，分别表示函数在上的最大值和最小值．则 ． 05 构造函数解不等式 1、对于，构造， 2、对于，构造 3、对于，构造， 4、对于，构造 5、对于，构造， 6、对于，构造 7、对于，构造， 8、对于，构造 9、对于，构造，