压轴题型04 函数与导数经典常考压轴大题-2024年高考数学压轴题专项训练（新九省专用）

压轴题型04 函数与导数经典常考压轴大题 命题预测 本节内容在高考中通常以压轴题形式出现，常见的有函数零点个数问题、不等式证明问题、不等式存在性问题等，综合性较强，难度较大.在求解导数综合问题时，通常要综合利用分类讨论、构造函数、等价转化、设而不求等思想方法，同时联系不等式、方程等知识，思维难度大，运算量不低.可以说，只要考生啃下本节这个硬骨头，就具有了强大的逻辑推理、数学运算、数据分析、直观想象等核心素养. 预计预测2024年高考，函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点： （1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题； （3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题 其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点． 高频考法 （1）双变量问题 （2）证明不等式 （3）不等式恒成立与有解问题 （4）零点问题 （5）导数与三角函数结合问题 01 双变量问题 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【例1】（2024·广东·二模）已知. (1)求的单调区间； (2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设是函数的两个零点，求证：． 【变式1-2】（2024·四川德阳·二模）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，求的最小值. 02 证明不等式 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【例2】（2024·青海·模拟预测）已知质数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求m的值； (2)证明：对一切，都有． 【变式2-1】（2024·山西晋城·二模）已知函数（）． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围； (3)若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：． 【变式2-2】（2024·上海松江·二模）已知函数（为常数），记. (1)若函数在处的切线过原点，求实数的值； (2)对于正实数，求证：； (3)当时，求证：. 03 不等式恒成立与有解问题 1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 【例3】（2024·北京朝阳·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围. 【变式3-1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的单调区间和极值； (3)若对任意，有恒成立，求的取值范围． 【变式3-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)求曲线与的公切线的条数； (2)若，求的取值范围. 04 零点问题 函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数