专题9.7 正方形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题9.7 正方形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 二、正方形的性质 1．正方形的四条边都相等，四个角都是直角； 2．正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； 3．正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质； 4．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 三、正方形的判定 1．先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 2．先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角； 3．还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． · 典例分析 【典例1】问题背景：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，， （1）求证：； （2）迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点、，若，，，求的长； （3）联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若，探究与的数量关系，并给出证明． 【思路点拨】 （1）先判断出，得出，，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，设，则，，再根据勾股定理得出，求出，即可得出结论； （3）先判断出四边形是正方形，设，得出，再设，则，利用勾股定理得出，即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：延长到点使，连接， 正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作交于，交于，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， 设， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，； （3）， 证明：如图3，分别取，的中点，，连接并延长交于，连接， ，， ， 四边形是正方形， ， 设， ， 矩形是正方形， ， 由（1）知，， ， 设， ， 在中，， ， ， ， ， ． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为．则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在正方形中，E是对角线上一点，且满足．连接，并延长交于点F，连接，过B点作于点G，延长交于点H．在下列结论中：①垂直平分；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 4．（22-23八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，E是正方形外一点，连接、、，交于点F，若，．下列结论：①；②：③四边形的面积是：④点B到直线的距离为；⑤．其中结论正确的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2023·江苏南通·二模）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，当最小时，的周长为 ． 6．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，正方形，点是射线上的动点，过点作，交直线于点，连接，取中点，连接并延长交直线于点，若，，则的长为 ．    7．（2024·山东临沂·二模）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的是 （填序号）．    8．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，现有边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点(不与点A点重合）将正方形