第4章 数列（单元基础卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第4章 数列（单元基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．与的等差中项为　 　． 2．已知等比数列的公比为，且，则　　． 3．已知数列是等差数列，若，，则　　． 4．已知等差数列，，则　　． 5．设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 　　． 6．已知等比数列的前项和为，公比为2，且，则　　． 7．设为等比数列的前项和，且，则实数的值为 　　． 8．在等差数列中，若，，则的通项公式为 　　． 9．设数列为等差数列，若，，则公差　　． 10．已知等比数列是严格减数列，其前项和为，，若，，成等差数列，则　　． 11．若与的等差中项为18，则实数的值为 　　． 12．若等差数列的首项，前5项和，则　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边　　 A．增加了 B．增加了 C．增加了，但减少了 D．增加了，但减少了 14．用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是　　 A．1 B． C． D． 15．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 16．用数学归纳法证明时，在证明等式成立时，此时等式的左边是　　 A．1 B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列． （1）用数学归纳法证明：是正整数）； （2）求数列的通项公式． 18．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求． 19．已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值． 20．设为等差数列的前项和，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）当为何值时，最大，并求出的最大值． 21．设函数，． （Ⅰ）若，，且函数与的图像有正格点（横、纵坐标均为正整数）交点，求的值； （Ⅱ）已知，对于满足（1）中条件的，求数列的前2020项和； （Ⅲ）若正实数使得的图像关于直线对称，所有满足条件的构成的数列记为，且是严格增数列，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 数列（单元基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．与的等差中项为　1　． 【分析】根据题意，设与的等差中项为，由等差中项的定义可得，由对数的运算性质可得的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，设与的等差中项为， 则， 故，即与的等差中项为1； 故答案为1． 【点评】本题考查等差数列的性质，涉及对数的运算性质，解题的关键是掌握等差中项的定义． 2．已知等比数列的公比为，且，则　　． 【分析】根据等比数列的性质即可求解． 【解答】解：等比数列的公比为，且， 可得， ， 可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题． 3．已知数列是等差数列，若，，则　　． 【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解． 【解答】解：设等差数列的公差为， ，， ，解得， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等差数列的前项和，属于基础题． 4．已知等差数列，，则　4　． 【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解． 【解答】解：等差数列，， 则． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题． 5．设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 　（或　． 【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解． 【解答】解：，，成等差数列， 则，即，解得或， 故“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是（或． 故答案为：（或． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题． 6．已知等比数列的前项和为，公比为2，且，则　1　． 【分析】直接根据，进行求解即可得到． 【解答】解：等比数列的前4项和为，公比为2， ，解得． 故答案为：1． 【点评】本题考查等比数列的前项和公式，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题． 7．设为等比数列的前项和，且，则实数的值为 　　． 【分析】由已知结合等比数列的求和公式