专题8.3 球的切接问题（3类必考点）-2023-2024学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题8.3 球的切接问题 【基础知识】 1 【考点1：内切球半径、表面积、体积】 2 【考点2：与内切球有关的最值问题】 3 【考点3：外接球半径、表面积、体积】 3 【考点4：与外接球有关的最值问题】 4 【基础知识】 1.1球的性质 球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径，球心到截面圆的距离为，则. 1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.3几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为，球的半径为， ①正方体的外接球，则； ②正方体的内切球，则； ③球与正方体的各棱相切，则. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 1.5.解决与球有关的切、接问题的方法： (1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． (2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的． 【考点1：内切球半径、表面积、体积】 【知识点：内切球半径、表面积、体积】 1．（2024高一下·山西大同·阶段练习）各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三下·贵州·阶段练习）若一圆锥的内切球半径为2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 3．（2024高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·二模）已知圆锥的顶点为，其三条母线，，两两垂直．且母线长为6．则圆锥的内切球表面积与圆锥侧面积之和为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川成都·二模）已知圆锥的高是，其轴截面为等边三角形，则其内切球体积为 . 7．（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 . 【考点2：与内切球有关的最值问题】 【知识点：与内切球有关的最值问题】 1．（2024高三上·山东济南·阶段练习）将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·重庆黔江·阶段练习）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 . 3．（2024·四川宜宾·二模）所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点，则线段长度的最大值为 . 4．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的母线，侧面积为，则圆锥的内切球半径为 ；若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为 ． 5．（2024高二上·广东·阶段练习）圆台及其内切球的体积分别为、，则的取值范围为 ． 【考点3：外接球半径、表面积、体积】 【知识点：外接球半径、表面积、体积】 1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球O的表面上，则该四棱台的高为（    ） A．2 B．8 C．2或12 D．4或8 2．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知正四棱锥的底面边长为2，高为4