第8章 平面向量（单元培优卷）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修二）

第8章 平面向量（单元培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．若，则在方向上的数量投影为 　　． 2．若向量、满足，，则　　． 3．已知，则在方向上的投影向量的坐标为 　　． 4．已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量　　． 5．已知单位向量，满足，则　　． 6．如图，在中，，，与交于，设，，，则为 　　． 7．在中，，，点是的中点，则　　． 8．设非零向量，满足，且，则与的夹角为 　　． 9．已知点，若，则　　． 10．在边长为1的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 　　． 11．已知空间向量均为单位向量，且与夹角为与夹角为，则的最大值为 　　． 12．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．在中，若，则角的大小为　　 A． B． C． D． 15．平面上的向量、满足：，，． 定义该平面上的向量集合．给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 16．已知，，是平面内的三个单位向量，且，则的取值范围是　　 A．， B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知向量，向量． （1）若向量，求向量的坐标； （2）若向量在向量上的投影向量的坐标为，求向量的夹角大小． 18．设两个向量满足． （1）求方向的单位向量； （2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 19．已知，，，， （1）设，求函数的解析式及最大值； （2）设的三个内角、、的对边分别为、、，当时，，且，求的面积． 20．（1）如图1，在平行四边形中，点是对角线的延长线上一点，且．记，试用向量表示． （2）若正方形边长为1，点在线段上运动，求的取值范围． （3）设，已知，当的面积最大时，求的大小． 21．在平面直角坐标系中，点满足，且；点满足，且，其中． （1）求的坐标，并证明点在直线上； （2）记四边形的面积为，求的表达式； （3）对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 平面向量（单元培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．若，则在方向上的数量投影为 　　． 【分析】投影即为，利用数量积运算求出即可． 【解答】解：设的夹角为， ， ，，， ， 故在方向上的数量投影为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题． 2．若向量、满足，，则　　． 【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可． 【解答】解：已知向量、满足，， 则， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题． 3．已知，则在方向上的投影向量的坐标为 　　． 【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解． 【解答】解：， 则，， 故在方向上的投影向量的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题． 4．已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量　　． 【分析】由等式变形可得出关于、的表达式． 【解答】解：因为， 所以，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题． 5．已知单位向量，满足，则　　． 【分析】由向量垂直及向量数量积的运算律、数量积的定义列方程求夹角余弦值即可． 【解答】解：由题意，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题． 6．如图，在中，，，与交于，设，，，则为 　，　． 【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即可． 【解答】解：已知在中，，，与交于， 设， 则， 同理，设， 则， 根据平面向量基本定理有， 解得， 所以， 即， 故答案为：，． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量基本定理，属基础题． 7．在中，，，点是的中点，则　　． 【分析】利用向量的加法和减法法则，将，分别用，表示出来