第3章 空间向量及其应用（单元培优卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第3章 空间向量及其应用（单元培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．如图所示，在棱长为6的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为 　　． 2．已知二面角的大小为，，为异面直线，且，，则，所成的角为　 　． 3．如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，若直线与平面所成的角为，则截面三角形面积的最小值为 　　． 4．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成的角是，则的长为 　　． 5．一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了 　　米． 6．已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 　　． 7．已知空间四个单位向量满足：，则的最大值为 　　． 8．在正方体中，点，分别是，的中点． ①； ②与所成角为； ③平面； ④与平面所成角的正弦值为． 其中所有正确说法的序号是 　　． 9．已知空间向量，8，，，则实数　　． 10．已知，，是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的取值范围是 　　． 11．如图，圆柱的底面直径与高均为2，一平面截圆柱，其截面为椭圆，该平面与圆柱的底面所成的二面角为，该椭圆的内接六边形的最大面积为 　　． 12．已知正四面体的棱长均为1，是空间中一动点，则的取值范围是 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．已知二面角的大小为，点，分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为　　 A． B．1 C．2 D． 14．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中错误命题有几个　　 （1）该几何体的表面积为； （2）该几何体的体积为4； （3）二面角的余弦值为； （4）若点，在线段，上移动，则的最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在正四面体中，，是棱上的三等分点，记二面角，，的平面角分别为，，，则　　 A． B． C． D． 16．阅读材料：空间直角坐标系中，过点，，且一个法向量为，，的平面的方程为；过点，，且一个方向向量为，，的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．在三棱柱中，平面，，为的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 19．在如图所示的直三棱柱中，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若为直角三角形，，，求直线与平面所成角的大小； （3）若为正三角形，，问：在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 20．如图①，在直角梯形中，，，且．现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图②． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正切值． 21．如图：平面，是矩形，，与平面所成角是，点是的中点，点在边上移动． （1）点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； （2）无论点在边的何处，与所成角是否都为定值，若是，求出其大小；若不是，请说明理由； （3）当等于何值时，二面角的大小为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 空间向量及其应用（单元培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．如图所示，在棱长为6的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角的正切值的取值范围为 　　． 【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解． 【解答】解：如图所示， 在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体， 连接、，则四边形是菱形， 设在平面的射影为， 则正三棱锥可知，点是△的外心， ，则， 由，得，所以， 再结合，得， 从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆， 该圆恰为