第2章 圆锥曲线（单元培优卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第2章 圆锥曲线（单元培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．已知抛物线经过点，则此抛物线的准线方程是 　　． 2．直线被圆截得的弦长为 　　． 3．从某个角度观察篮球（如图，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为 　　． 4．已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则　　． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则△的面积为 　　． 6．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为 　　． 7．已知抛物线与椭圆有公共焦点，椭圆的另一个焦点为，是这两曲线的一个交点，则△的面积为 　　． 8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直轴的直线与交于，两点，且，若圆与的一条渐近线交于，两点，则　　． 9．双曲线具有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点．已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过，两点反射后，分别经过点和．若，则的离心率为 　　． 10．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率　　． 11．已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线交于，两点，设点在抛物线的准线上，若是等腰直角三角形，则　　． 12．设、是两个实数，且满足，直线和圆交于两点后、，若对于任意的，，均存在正数，使得的面积均不小于，则的最大值为 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是　　 A． B． C． D． 14．中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 15．在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假　　 ①所有椭圆都是“自相关曲线”． ②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 16．已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是　　 ①在黄金椭圆中，； ②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则； ③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，． A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知直线和圆． （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 18．如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的取值范围． 19．已知椭圆的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、． （1）求椭圆的方程； （2）已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为直命题，求的重心坐标； （3）是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．（其中、分别表示、的面积） 20．如图，已知椭圆经过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆上任意点，轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围； （3）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． 2