课时作业(十)导数的应用举例-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性选修第二册

课时作业(十)　导数的应用举例 练 基 础 1.某箱子的容积V与底面边长x的关系为V(x)＝x2(60－x)(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为(　　) A．30 B．40 C．50 D．55 2．已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋3q，单价p与产量q的函数关系式为p＝75－q2，则当利润最大时，q＝(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 3．一面靠墙，三面用栏杆围成的一个矩形场地，如果栏杆长40 m，要使围成的场地面积最大，则靠墙的边应该是________ m． 4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中的每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数关系式为y＝·x3－x＋8，x∈(0，120]，且甲、乙两地相距100 km，则当汽车的速度为多少时，从甲地到乙地耗油量最少？ 提 能 力 5. 如图，某长方体石膏的底面周长为8分米，高是长的两倍(底面矩形的长大于宽)，则该长方体石膏体积的最大值为(　　) A．16立方分米 B．18立方分米 C．立方分米 D．立方分米 6．第14届全运会于2021年9月在陕西西安顺利举办，其中水上项目在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2 m，其容积为2 500 m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为k(k>0)，较长的池壁维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时x值为(　　) A．25 B．30 C．35 D．40 7．将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 8．现有一批货物从上海洋山深水港运往青岛，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成．轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y元表示为速度x(海里/小时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大的速度航行？ 9．上海的疫情牵动着全国人民的心，全国各地送来了很多支援上海的防疫物资，除此之外一些蔬菜中转厂，通过向农场购买蔬菜进行储存，再卖给上海各个小区，也为上海居民提供了蔬菜来源．某蔬菜中转厂的每日进货的蔬菜量最多不超过20吨，由于蔬菜采购，运输，管理等因素，蔬菜每日浪费率p与日进货量x(吨)之间近似地满足关系式p＝(日浪费率＝×100%)，已知售出一吨蔬菜可赢利2千元，而浪费一吨蔬菜则亏损1千元．(蔬菜中转厂的日利润y＝日售出赢利额－日浪费亏损额). (1)将该蔬菜中转厂的日利润y(千元)表示成日进货量x(吨)的函数； (2)当该蔬菜中转厂的日进货量为多少吨时，日利润最大？最大日利润是几千元？ 培 优 生 10.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 课时作业(十)　导数的应用举例 1．解析：V′(x)＝x(60－x)＋x2·(－1)＝－x2＋60x＝－(x2－40x)＝－x(x－40)，(0<x<60)， 当x∈(0，40)时，V′(x)>0，V(x)单调递增， 当x∈(40，60)时，V′(x)<0，V(x)单调递减， 所以当x＝40时，V(x)取得最大值． 答案：B 2．解析：设利润为y，则y＝pq－C＝(75－q2)q－(100＋3q)＝－q3＋72q－100， 所以y′＝－q2＋72. 则当0<q<12时，y′>0；当q>12时，y′<0， 故当利润最大时，q＝12. 答案：B 3．解析：设靠墙的边长为x，(0<x<40)，则矩形的面积为S(x)＝x(40－x)，则S′(x)＝20－x，令S′(x)＝20－x＝0，得x＝20，当x∈(0，20)时S′(x)>0，即S(x)在(0，20)上单调递增，当x∈(20，40)时S′(x)<0，即S(x)在(20，40)上单调递减，所以当x＝20时S(x)取得最大值，所以靠墙的一边长为20 m时，面积最大． 答案：20 4．解析：当速度为x km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了 h，设耗油量为y L，依题意得 y＝(x3－x＋8)· ＝x2＋－(0<x≤120)， 则y′＝－＝