2023—2024学年浙教版数学八年级下册微专题突破课件 《专题8菱形的判定方法》

浙教版 八年级下册微专题突破系列 菱形的判定方法 微专题8 【教材母题】 (教材P123作业题第4题) 已知：如图，O是矩形ABCD的对角线的交点．作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E.求证：四边形OCED是菱形． 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵在矩形ABCD中，OD＝OC， ∴▱OCED是菱形． 【思想方法】 菱形的判定方法是证明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分． 【变式1】 (通过定义判定) 1. 如图，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，连结AE，BD，且AE＝AB. (1)求证：∠ABE＝∠EAD. (2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAD＝∠AEB. ∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠EAD. (2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. 又∵∠AEB＝2∠ADB，∠AEB＝∠ABE， ∴∠ABE＝2∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形． 【变式2】 (通过四边相等判定) 2. 如图，已知四边形ABCD为菱形，AE＝CF，求证：四边形BEDF为菱形． 证明：∵四边形ABCD为菱形，AE＝CF， ∴∠BAE＝∠BCF，AB＝BC. 在△BAE和△BCF中， ∴△BAE≌△BCF(SAS)， ∴BE＝BF， 同理可得△BAE≌△DCF≌△DAE， ∴BE＝DE＝BF＝DF， ∴四边形BEDF为菱形． 【变式3】 (通过对角线互相垂直平分判定) 3. 如图，过▱ABCD的对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N. (1)求证：△PBE≌△QDE. (2)顺次连结点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴EB＝ED，AB∥CD， ∴∠EBP＝∠EDQ. 在△PBE和△QDE中， ∴△PBE≌△QDE(ASA)． (2)顺次连结点P，M，Q，N，如答图所示． ∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ. 同(1)可证△BME≌△DNE， ∴EM＝EN，∴四边形PMQN是平行四边形． 又∵PQ⊥MN，∴▱PMQN是菱形． 1. 如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG.求证：四边形DEFG是菱形． 证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，AD⊥BC， ∴∠EFO＝∠GDO. ∵AC＝BC，∴DE＝EF. ∵O是DF的中点，∴OF＝OD. ∴△OEF≌△OGD(ASA)，∴EF＝GD， ∴四边形DEFG是平行四边形． 又∵DE＝EF，∴▱DEFG是菱形． 2. 如图，在△ABC中，P是AC的中点，点D在BC的延长线上，过点P的直线MN∥BD，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于点E，F. (1)请判断四边形AECF的形状，并说明理由． (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请说明 理由． 解：(1)四边形AECF是矩形．理由如下： ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵MN∥BC，∴∠PEC＝∠BCE， ∴∠ACE＝∠PEC，∴PE＝PC. 同理，PF＝PC，∴PE＝PF. ∵P是AC的中点，∴AP＝PC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AP＝PC＝PE＝PF，∴EF＝AC， ∴▱AECF是矩形． (2)当∠ACB＝90°时，四边形AECF是菱形．理由如下： ∵MN∥BC，∴∠APM＝∠ACB＝90°， ∴AC⊥EF. 又∵四边形AECF是平行四边形， ∴▱AECF是菱形． 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD相交于点E，F，EH⊥AB于点H，连结FH.求证：四边形CFHE是菱形． 证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠HAE. 又∵EH⊥AB，∠ACB＝90°， ∴EC＝EH， ∴Rt△AEC≌Rt△AEH(AAS)， ∴AC＝AH. 在△AFC和△AFH中， ∴△AFC≌△AFH(SAS)，∴FC＝FH. ∵CD⊥AB， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°＝∠CAE＋∠AEC. 又∵∠DAF＝∠CAE，∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠AEC，∴CF＝CE， ∴EC＝EH＝HF＝FC，∴四边形CFHE是菱形． 4. 如图，将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转α°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F. (1)求证：△BCF≌△