第2章 圆锥曲线（单元基础卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第2章 圆锥曲线（单元基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．过抛物线焦点的弦的中点横坐标为2，则弦的长度为 　　． 2．椭圆的离心率为，则　　． 3．长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是 　　． 4．已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为；则椭圆的标准方程 　　． 5．已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值为 　　． 6．已知双曲线的右顶点为，点，都在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的渐近线方程为 　　． 7．过点作圆的切线，则切线方程为 　　． 8．已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 　　． 9．已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则　　． 10．已知双曲线，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 　　． 11．双曲线的渐近线方程为 　　． 12．若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则　　 A． B． C． D． 14．已知，是圆内异于圆心的一点，则此直线与该圆　　 A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 15．若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．8 16．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为　　 A． B． C．4 D． 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知抛物线的焦点为． （1）求抛物线的方程； （2）斜率为1的直线过点，且与抛物线交于，两点，求线段的长． 18．已知圆，直线　． （1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点； （2）求与直线相交弦长的最小值． 19．我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． （1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程； （2）如图，已知“盾圆” 的方程为设“盾圆” 上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值． 20．已知双曲线，双曲线的右焦点为，圆的圆心在轴正半轴上，且经过坐标原点，圆与双曲线的右支交于、两点． （1）当是以为直角顶点的直角三角形，求的面积； （2）若点的坐标是，求直线的方程； （3）求证：直线与圆相切． 21．设为实数，是以点为顶点，以点为焦点的抛物线，是以点为圆心、半径为1的圆位于轴右侧且在直线下方的部分． （1）求与的方程； （2）若直线被所截得的线段的中点在上，求的值； （3）是否存在，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆锥曲线（单元基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．过抛物线焦点的弦的中点横坐标为2，则弦的长度为 　6　． 【分析】直接根据抛物线的焦点弦长公式即可求解． 【解答】解：设，，，， 则， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查抛物线的焦点弦问题，属基础题． 2．椭圆的离心率为，则　2　． 【分析】根据椭圆离心率的计算方法，求解即可． 【解答】解：离心率， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查运算能力，属于基础题． 3．长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是 　或　． 【分析】根据长轴长求出，根据焦距求出，再根据椭圆的定义求出，即可写出椭圆的标准方程． 【解答】解：因为长轴的长是，，焦距是，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程应用问题，是基础题． 4．已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为；则椭圆的标准方程 　　． 【分析】先根据已知条件求出，再根据离心率求出，最后根据即可确定椭圆标准方程． 【解答】解：因为椭圆长半轴的长为6，所以有，又因为椭圆离心率为， 即，所以；根据，有， 椭圆焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：． 故答案为：． 【点评】本题在考查椭圆的标准方程，属于基础题． 5．已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值为 　5　． 【分析】利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解． 【解答】解：抛物线的方程为：， ，，准线方程为， 到准线的距离， ，当且仅当垂