巧妙求和（讲义）-2023-2024学年四年级上册数学人教版

巧妙求和 【知识综述】 按照一定次序排列的一列数叫数列。如:①3,9,27,81,243,…②1,2,3,4,5…数列中的每一个数叫作一项,第一项叫首项,最后一项叫末项。如果一列数中,每一项与它前面一项的差都相等,这个数列叫作等差数列,这个差叫作这个数列的公差,数列中数的个数叫作项数. 有关等差数列,我们通常会用到下列三个公式 an=a1+(n-1)d(其中an是第n项,a1是首项,m是项数,d是公差) n=(an-a1)÷ad+1 Sn=(a1+an)×n÷2或Sn=ma1+n×(n-1)÷2×d 【典型例题1】 数列1,4,7,10,…的第20项是多少? 思路点拨：由数列的前几项可以看出,这个数列是等差数列,首项a1是1,公差d是4-1=3,根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可以求得第20项. 1+(20-1)×(4-1) =1+19×(4-1) =58 小试身手： 1.数列2,7,12,17,22,…的第100项是多少? 2.数列1,5,9,13.17,…的第25项是多少? 3.某阶梯教室有20排座位,第一排有10个座位,其后每一排都比与它相邻的前一排多2个座位。这个阶梯教室最后一排有多少个座位? 【典型例题2】 下列等差数列各有多少项? (1)5,9,13.17,…,89,93 (2)2,5,8,11.…98,101 思路点拨:在(1)中,首项a1是5,末项an是93,公差d是9-5=4,所以项数n可以根据公式n=(an-a1)÷d+1求得。 (93-5)÷(9-5)+1 =88÷4+1 =23(项) 在(2)中,首项a1是2,末项an是101,公差d是5-2=3,所以项数n可以根据公式n=(an-a1)÷d+1求得。 (101-2)÷(5-2)+1 =99+3+1 =34(项) 小试身手： 下列各等差数列分别有多少项? 1.9,18,27,36,…261,270 2.5,10,15,20,…,85,90 3.4,7,10,13,…,151,154    【典型例题3】 求1+2+3+……+99+100的和是多少。 思路点拨：求上面算式的和,其实就是求一个等差数列的和,而在这个等差数列中,首项是1,末项是100,公差是1,从1到100共有100个数,项数是100,所以这个算式的和可用等差数列求和公式计算. 原式=(1+100)×100÷2 =101×100÷2 =5050 小试身手： 快速算出下列各式的结果。 1.1+2+3+4+5+6+7+8+…十+50 2.1+2+3+4+5+6+7+8+…+78+79 3.101+102+103+104+105+…+200 【典型例题4】 计算:1+3+5+…+99 思路点拨：计算上面的算式,其实就是求一个等差数列的和，而这个等差数列的首项是1,末项是99,公差是2,但未知项数,所以求项数成为求和的关键。运用求项数公式,求出项数之后再求和。 项数:(99-1)÷2+1 =98÷2+1 =50 原式=(1+99)×50÷2 =100×50÷2 =2500 小试身手： 1.快速算出下列各式的结果。 (1)42+44+46+48+50+…+76 (2)39+42+45+48+…+84 (3)(2+4+6+8+…+98+100)-(1+3+5+7+……+97+99) 2.一批零件,张师傅原计划每天做50个,因时间问题,他以后每天都比前一天多做5个,最后一天做了75个正好做完。问:这批零件共有数成多少个？ 3.小丽练习写毛笔字,第一天写了5个,第二天写了9个,以后每天都比前一天多写4个。当她在某一天中写了41个字时,这一天是她第几天练习写毛笔字? 【典型例题5】 计算:91+92+93+94+95+96+97 思路点拨1：这几个加数是公差为1的等差数列,要求其和可用等差数列列求和公式直接计算 91+92+93+94+95+96+97 =(91+97)×7÷2 =188×7÷2 =658 思路点拨2：因这几个加数都很接近100,我们把这7个加数看成7个100相加,这样多加了9+8+7+6+5+4+3,最后用700减去多加的即可。 91+92+93+94+95+96+97 =100×7-(9+8+7+6+5+4+3) =700-42 =658 思路点拨3：这几个加数是7个连续的自然数,94在最中间,第一个加数91比比最后一个加数97少6,把6的一半分给91,使91与97都变成94,同样,92与96,93与95都可变成94,这样7个加数都变成了94,求出7个94的和即可。 91+92+93+94+95+96+97 =94×7 =658 小试身手： 1.994+995+996+997+998 2.1993+1994+1995+1