备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（十一）（新结构）

备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（十一）（新结构） 解答题（共5小题，77分） 1．（13分）已知等差数列，其公差不为零，是和的等比中项，． （1）求数列的通项公式； （2）设是的前项和，，求数列的前项和． 2．（15分）已知矩形中，点在边上，且．现将沿向上翻折，使点到点的位置，构成如图所示的四棱锥． （1）若点在线段上，且平面，求的值； （2）若，求锐二面角的余弦值． 3．（15分）高三学生参加高考体检，一班共有50人，分成，，三个小组，分别有15，15，20人． （1）若体检一切正常每组需要二十分钟，若有异常所在组需延长十分钟，每位同学正常的概率为，求七十分钟内能完成班级检测的概率； （2）若三组同学在一起排序进行，求最后一位同学来自组且组比组结束的早的概率； （3）若每位同学的体检时间都是两分钟，三组同学在一起排序进行，求组同学全部结束所需时间的期望． 4．（17分）已知椭圆的左顶点为，过且斜率为的直线交轴于点，交的另一点为． （1）若，求的离心率； （2）点在上，若，且，求的取值范围． 5．（17分）已知，为函数的极值点，直线过点，，，（a）， （1）求的解析式及单调区间； （2）证明：直线与曲线交于另一点； （3）若，求． （参考数据： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（十一）（新结构） 解答题（共5小题，77分） 1．（13分）已知等差数列，其公差不为零，是和的等比中项，． （1）求数列的通项公式； （2）设是的前项和，，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设等差数列的公差为，， 因为是和的等比中项， 所以， 即， 化简得，因为，所以， 因为，即， 解得，， 所以． （2）因为， 所以，所以， 所以， ， 相减得， 所以． 2．（15分）已知矩形中，点在边上，且．现将沿向上翻折，使点到点的位置，构成如图所示的四棱锥． （1）若点在线段上，且平面，求的值； （2）若，求锐二面角的余弦值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）点为线段上靠近点的三等分点，满足平面，证明如下： 如图，过点作交于点，连接，则， 又，，， ，， 四边形为平行四边形，有， 又平面，平面， 平面， 此时由平行线的性质有：； （2），为等腰直角三角形， ，，，， 取的中点，以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，0，，，， 则，， ，，所以，解得，， 则，0，，，， 设平面的法向量为，则： ，令，则，，， 由题知为平面的一个法向量为， ， 即锐二面角的的余弦值为． 3．（15分）高三学生参加高考体检，一班共有50人，分成，，三个小组，分别有15，15，20人． （1）若体检一切正常每组需要二十分钟，若有异常所在组需延长十分钟，每位同学正常的概率为，求七十分钟内能完成班级检测的概率； （2）若三组同学在一起排序进行，求最后一位同学来自组且组比组结束的早的概率； （3）若每位同学的体检时间都是两分钟，三组同学在一起排序进行，求组同学全部结束所需时间的期望． 【答案】（1）（2）；（3） 【详解】（1）设事件 “组正常”； “组正常” “组正常”； “七十分钟完成体检”， 则（D） ． （2）设 “最后是组同学，且比先完成”， 由古典概型得． （3）设所需时间为，则可取30，32，，，，，2，3，， 则，，2.3，，36， ， 因为， 所以． 4．（17分）已知椭圆的左顶点为，过且斜率为的直线交轴于点，交的另一点为． （1）若，求的离心率； （2）点在上，若，且，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设，，，， 因为， 则，，， 所以， 则有，又，解得， 所以，所以， 解得， 即离心率； （2）设点，，，直线， 联立椭圆方程可得， 消去得，解得，， 所以， 同理可得（将替换为， 因为，且， 所以， 整理得， 由，解得或， 由，即，解得， 综上所述，的取值范围为． 5．（17分）已知，为函数的极值点，直线过点，，，（a）， （1）求的解析式及单调区间； （2）证明：直线与曲线交于另一点； （3）若，求． （参考数据： 【答案】（1），在，单调递增，在单调递减；（2）见解析；（3）4 【详解】（1）， 因为，为函数的极值点， 所以，为方程的两个根， 即，为方程的两个根， 所以，， 解得，， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，在，单调递增，在单调递减． （2）证明：直线的方程为，即， 由，得， 所以和为该方程的解， 设， 则， 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为，（a）， 所以有且仅有2个零点，，其中， 即直线与曲线交于另一点，且的横坐标为． （3）由（2）得，即， 设，