备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（十二）（新结构）

备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（十二）（新结构） 解答题（共5小题，满分77分） 1．（13分）记内角，，的对边分别为，，，已知面积为，且． （1）求； （2）若，，求． 2．（15分）由正棱锥截得的棱台称为正棱台，如图正四棱台中，，为中点，点满足，其中． （1）证明； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，且，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（15分）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若函数，存在最大值，求的取值范围． 4．（17分）已知椭圆的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为．是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（17分）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束． 已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响． （1）若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值； （2）记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（十二）（新结构） 解答题（共5小题，满分77分） 1．（13分）记内角，，的对边分别为，，，已知面积为，且． （1）求； （2）若，，求． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意， 所以，可得，即， 又， 所以； （2）因为，， 又，可得， 所以， 又因为，即， 解得． 2．（15分）由正棱锥截得的棱台称为正棱台，如图正四棱台中，，为中点，点满足，其中． （1）证明； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：以底面的中心为原点，以方向为轴，过点平行于的直线为轴， 以过点垂直平面向上方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设正四棱台的高度为， 则有，，， ，，， ，，， ， ， ． 故， 所以； （2）设平面的法向量为， 设平面的法向量为，，， 则有，即， 令，则， ，，， 又题意可得，可得， 因为，即可得，，，，则，，， 将代入，可得平面的法向量， ，，， 设直线与平面所成角的为，，， 所以． 3．（15分）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若函数，存在最大值，求的取值范围． 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）， 【详解】（1）因为， 所以， 令，得， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）令，则， 由（1）得，函数得单调递增区间为，单调递减区间为， 所以在处取得最大值， 所以当时，， 当时，， 即当时，，， 所以在上存在最大值的充分必要条件是， 即， 令，则， 因为， 所以是增函数， 因为， 所以（a）的充要条件是， 所以的取值范围为，． 4．（17分）已知椭圆的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为．是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在定点，使得，理由见解析 【详解】（1）由题意可得，，解得，， 所以椭圆的标准方程为：； （2）若存在定点，使得，等价于以为直径的圆恒过定点， 当直线的斜率不存在时，为直径的圆的方程为，①， 当直线的斜率为0时，令，得，因此为直径的圆的方程为，② 联立①②，得，整理可得：，解得， 猜测点的坐标为， 当直线的斜率垂直且不为0时，设直线的方程为，设，，，， 联立，整理可得：， 则，，，， 所以 ． 综上，存在定点，使得． 5．（17分）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束． 已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响． （1）若，