备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（十）（新结构）

备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（十）（新结构） 解答题（共5小题，满分77分） 1．（13分）为公差且的等差数列．．为它的前项和，最大项为．满足． （1）求与的通项公式； （2）若，求前2024项和． 2．（15分）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 3．（15分）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 ， ， ， ， ， 元件数（件 12 18 36 30 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． 若，证明：； 利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 4．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，是其左、右顶点，点为上异于，的点，满足直线与的斜率之积为，△的周长为6． （1）求椭圆的方程； （2）直线过点，与椭圆交于，两点，当外接圆面积最小时，求直线的方程． 5．（17分）设全集为，定义域为的函数是关于的函数“函数组”，当取中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为的函数，当时，有，若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点，则称是上的“跳跃函数”． （1）设，，，若函数是上的“跳跃函数”，求集合； （2）设，，若不存在集合使为上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合的并集； （3）设，为上的“跳跃函数”， ．已知，且对任意正整数，均有． 证明：，； 求实数的最大值，使得对于任意，均有的零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（十）（新结构） 解答题（共5小题，满分77分） 1．（13分）为公差且的等差数列．．为它的前项和，最大项为．满足． （1）求与的通项公式； （2）若，求前2024项和． 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）， 由题意得，， ，，， ，， ， 则，； （2）， 设，为其前项和， 则， 两式作差得， ， 故， 则的前2024项和为 ． 2．（15分）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， ，为的中点，， 又，． 又平面，平面，平面． 为的中点，． 又平面，平面，平面， 又，平面平面， 又平面，平面． （2），由（1）知，， 又，， 又，平面， 又平面，， 又，，平面， 又平面，平面平面， 连接，，， 平面，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 是与平面所成的角，即， ，设，则，，，， ，0，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设二面角的平面角为， ，， 所以， 即二面角的正弦值为． 3．（15分）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 ， ， ， ， ， 元件数（件 12 18 36 30 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． 若，证明：； 利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】见解析 【详解】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品， 则， ， 即从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，则另一件也为合格品的概率为． （2）证明：由题：若，则，， 又， 或， 由切比雪夫不等式可知，， ； 设随机抽取100件产品中合格品的件数为， 假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则， ，， 由切比雪夫不等式知，， 即在