备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（九）（新结构）

备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（九）（新结构） 解答题（共5小题，满分77分） 1．（13分）已知函数在点，（1）处的切线与直线垂直． （1）求的值； （2）求的单调区间和极值． 2．（15分）如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，四边形是等腰梯形，，，平面，，，，在上． （1）为保证风筝飞行稳定，需要在处引一尼绳，使得，求证：直线平面； （2）实验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值． 3．（15分）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为． （1）求甲投篮3次得2分的概率； （2）若乙投篮3次得分为，求的分布和期望； （3）比较甲、乙的比赛结果． 4．（17分）已知椭圆的短轴长为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积． 5．（17分）已知：，，，为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当，1，，时，均有．设，对于，1，，，定义，，其中，表示数集中最小的数． （1）若，1，2，2，1，3，1，2，3，写出，的值； （2）若存在满足：，求的最小值； （3）当时，证明：对所有，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（九）（新结构） 解答题（共5小题，满分77分） 1．（13分）已知函数在点，（1）处的切线与直线垂直． （1）求的值； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）因为，所以， 则（1），因为函数在点，（1）处的切线与直线垂直， 故，解得； （2）因为，所以， 令，解得或，令得或，令得， 列表如下： 3 0 0 极小值 极大值 故的单调递减区间为和，单调递增区间为， 的极大值为，极小值为． 2．（15分）如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，四边形是等腰梯形，，，平面，，，，在上． （1）为保证风筝飞行稳定，需要在处引一尼绳，使得，求证：直线平面； （2）实验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：四边形是等腰梯形，，，， 连接，，， 平面，平面， 平面． （2）解：平面，平面，， ，，， ， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， ，0，，，0，，，，，，2，，，0，， ， 设平面的法向量为， ， 令，，，， 设与平面所成角为，． 与平面所成角的正弦值为． 3．（15分）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为． （1）求甲投篮3次得2分的概率； （2）若乙投篮3次得分为，求的分布和期望； （3）比较甲、乙的比赛结果． 【答案】（1）；（2）的分布为，；（3）见解析 【详解】（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率； （2）由题意知的所有可能取值为0，2，4，6， 则，， ，， 随机变量的分布为， 期望； （3）设甲三次投篮的得分，则，2，4，6， 可求得随机变量的分布为， 所以， ， 又可算得， 因为，， 所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定． 4．（17分）已知椭圆的短轴长为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意可得，即，又因为， 解得， 所以椭圆的方程为：； （2）当圆的切线斜率不存在时，切线方程为， 当切线方程为 时，由椭圆的对称性可得， 因为，所以点不在椭圆上，不符题意， 当切线方程为 时，由椭圆的对称性可得， 因为，所以点不在椭圆上，不符题意， 所以切线的斜率存在，设切线方程为，设，，，， 由题意， 可得，①， 联立，整理得， 则△， 解得，且，， 故， 所以线段的中点坐标为， 因为四边形为平行四边形， 所以的中点也标为， 所以，又因为点在椭圆上， 所以， 将①代入②得，解得， 所以， 所以 ， 所以． 5．（17分）已知：，，，为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当，1，，时，均有．设，对于，1，，，定义，，其中，表示数集中最小的数． （1）若，1，2，