福建省福州第二中学2023-2024学年高二下学期第三学段（期中）考试数学试题

福建省福州第二中学2023-2024学年高二下学期第三学段（期中）考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“|x﹣1|＜2”是“x＜3”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（　　） A． B． C． D． 3．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 4．若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（　　） A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41 5．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，则该同学也爱好滑冰的概率为（　　） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 6．从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球．若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分．按照规则从容器中任意抽取2个球（　　） A． B．3 C． D． 7．设数列{an}的前n项之积为Tn，满足an+2Tn＝1（n∈N*），则a2024＝（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则（　　） A．（0，16） B．[0，16] C．（0，4） D．[0，4] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）若袋子中有2个白球，3个黑球（球除了颜色不同，没有其他任何区别），现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记1分，取到黑球记0分，则（　　） A． B． C． D． （多选）10．（6分）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（　　） A．sin（x+） B．sin（﹣2x） C．cos（2x+） D．cos（﹣2x） （多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线交x轴于点D，过F的直线交C于A，AF的中点M在y轴上的射影为点N，|MN|＝|NF|，则（　　） A．|AF|＝3|BF| B．∠ADB是锐角 C．△BDN是锐角三角形 D．四边形DFMN是菱形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．二项式展开式中的系数为 　 　． 13．过原点的直线l与y＝ex相切，则切点的坐标是 　 　． 14．将杨辉三角中的每一个数∁nr都换成，就得到一个如图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，其中x＝　 　，令，则＝　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（15分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边 （1）求角C； （2）若a+b＝2，求c的取值范围． 16．（15分）某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动． （1）求选到的学生是艺术生的概率； （2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大． 17．（15分）三棱台ABC﹣A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M，N分别是BC，BA中点． （1）求证：A1N∥平面C1MA； （2）求平面C1MA与平面ACC1A1所成夹角的余弦值； （3）求点C到平面C1MA的距离． 18．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）． （1）若x＝1是f（x）的极值点，求a的值； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）若函数f（x）在[1，e2]上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 19．（17分）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上． 福建省福州第二中学2023-2024学年高二下学期第三学段（期中）考试 数学试卷参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，