专题08 锐角的三角比（4大热点题型）（含24年上海最新模拟题）-2024年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题08 锐角的三角比 目录 热点题型归纳 1 题型01 解直角三角形 1 题型02 解直角三角形的应用 14 题型03 解直角三角形的应用——坡度坡角问题 25 题型04 解直角三角形的应用——仰角俯角问题 34 中考练场 50 题型01 解直角三角形 【解题策略】 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【典例分析】 【例1】．（2024•普陀区二模）如图，在中，，点在边上，，． （1）求的长； （2）求的值． 【变式演练】 1．（2024•浦东新区二模）如图，在中，是边上的高．已知，，． （1）求的长； （2）如果点是边的中点，联结，求的值． 2．（2023•虹口区一模）如图，在中，，，，点在边上，且，过点作交边于点，的平分线交线段于点，求的长． 3．（2023•崇明区一模）如图，是边上的一点，，，垂足为点，若，． （1）求的长； （2）若，求的值． 4．（2023•青浦区一模）如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，． （1）求的值； （2）求线段的长． 5．（2023•虹口区一模）如图，在中，，，点、分别在边、上，满足．点是延长线上一点，且． （1）当点是的中点时，求的值； （2）如果，求的值； （3）如果是等腰三角形，求的长． 题型02 解直角三角形的应用 【解题策略】 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【典例分析】 【例2】．（2023•虹口区一模）如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点、分别固定在压柄与底板上已知． （1）如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长； （2）现将压柄从图2的位置旋转到与底座成角（即，如图3所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号）（参考数据：，，；，， 【变式演练】 1．（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米小时，在离道路50米的点处建一个监测点，道路的段为监测区．在中，已知，，车辆通过段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据： 2．（2023•闵行区二模）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点、、、在同一直线上，，，米； （1）求隧道两端、之间的距离（精确到个位）； （参考数据：，，． （2）原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从、两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？ 3．（2023•普陀区一模）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为6米． （1）求的长；（结果保留根号） （2）如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取 4．（2023•徐汇区一模）如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高为，宽为，点是的中点，连杆、的长度分别为和，，且连杆、与始终在同一平面内． （1）求点到水平桌面的距离； （2）产品说明书提示，若点与的水平距离超过的长度，则该支架会倾倒．现将调节为，此时支架会倾倒吗？ （参考数据：，，， 5．（2023•宝山区二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米． （1）求“房顶”点到盒底边的距离； （2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）． 6．（2023•徐汇区二模）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的处，花洒的长度为20厘米． （1）已知花洒与墙面所成的角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到