串讲02 圆锥曲线（考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选修）

串讲02 圆锥曲线 高二沪教版数学下册期中考点大串讲 技巧总结 01 02 04 05 03 目 录 易错易混 典例剖析 考点透视 考场练兵 考点透视 考点透视 1.求圆的方程 1.已知圆M经过直线l：2x＋y＋4＝0及圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且圆M的圆心到直线g：2x＋6y－5＝0的距离为3，求圆M的方程． 解：设经过直线l和圆C交点的圆系方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0， 则x2＋y2＋2(λ＋1)x＋(λ－4)y＋4λ＋1＝0， ∴圆M的圆心M(－λ－1，)， ∴＝3， 解得λ＝－11，或λ＝13. ∴所求圆M的方程为x2＋y2－20x－15y－43＝0， 或x2＋y2＋28x＋9y＋53＝0. 典例剖析 2.已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为 求l的方程； 2.直线与圆的位置关系 (2)求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程. 设D是线段AB的中点，则CD⊥AB， 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0. 又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0， ∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0. （2）设过点P的圆C的弦的中点为E(x，y)， 则CE⊥PE，所以kCE·kPE＝－1， 化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 3.已知一个圆的圆心坐标为A(2，1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1，P2两点，若点A到直线P1P2的距离为 求这个圆的方程. 解　设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2， 即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0， 所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0. 解得r2＝6. 故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝6. 3.圆与圆的位置关系 4.最值与范围问题 4.已知实数x，y满足y＝，则代数式 的取值范围为________． 解析：如图所示y＝化为x2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形为半圆弧， 的几何意义为定点A(－3，－1)与半圆弧上任意一点M(x，y)的连线的斜率． 利用数形结合法可知kAB≤≤kAC.又B( ，0)，kAB＝＝， 设直线AC的方程为y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－1＝0. ∵直线AC与半圆相切，∴ ＝，即3k2－3k－1＝0，解得k＝ 或 (舍去)． ∴kAC＝ .∴ ≤ ≤ . 设点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 解:(1)式子的几何意义是圆x2+(y-1)2=1上的点与定点(2,0)之间的距离.因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是,圆的半径是1,所以的最小值是-1. (2)式子的几何意义是圆x2+(y-1)2=1上的点P(x,y)与定点(-1,-2)连线的斜率.如图,当连线为切线l1时,斜率最小,设l1的斜率为k,则l1的方程为kx-y+k-2=0,由直线与圆相切,得,解得k=.故的最小值是. 5.圆锥曲线的定义及应用 5.(1)一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为(　) A．抛物线　　　　　 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．椭圆 (2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________． ＋＝1 C (3)已知动点M的坐标满足方程 ＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 C 解:　(1)x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆， x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆． 设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，则 ⇒|PA|－|PO|＝1＜|AO|＝3， 符合双曲线的定义，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支． (2)设椭圆方程为 ＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示， 则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4. 又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8， ∴椭圆C的方程为 ＋＝1. ∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相