串讲01 平面直角坐标系中的直线 （考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选修）

串讲01 平面直角坐标系中的直线 高二沪教版数学下册期中考点大串讲 技巧总结 01 02 04 05 03 目 录 易错易混 典例剖析 考点透视 考场练兵 倾斜角 斜率 范围：__________ 定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_________与直线 l__________之间所成角,叫做直线的倾斜角. 定义：倾斜角α(α≠90°)的___________叫做这条直线的斜率，即 k=_____. 斜率公式：过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 ______________. 正方向 向上方向 正切值 tanα [0°,180°) 1.直线切斜角与斜率 考点透视 2.直线方程的几种形式的转化 y=kx +b 设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 (1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； (2)相交⇔A1B2－A2B1≠0； 3.两条直线的位置关系 (4)垂直⇔A1A2+B1B2=0； 4.距离公式 (1)两点间的距离公式 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则|P1P2|＝ . (2)点到直线的距离公式 ①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ； ②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝ . 1.直线的倾斜角与斜率 1. 已知直线l过点P(1,1)且与以A(－1,0)、B(3，－4)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． 解：如图所示，直线PA的斜率kPA＝＝， 直线PB的斜率kPB＝ ＝. 当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是[，＋∞)， 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是(－∞，－ ]． ∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ ]∪[，＋∞) 典例剖析 1. 过点A(－5，－4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程． 2.求直线的方程 解：由题意的，直线l的斜率存在。 设直线为y+4=k(x+5),与x轴交点为（5,0）,与y轴交点（0，5k4) 得25k2－30k＋16＝0或25k2－50k＋16＝0， 解得k＝，或k＝， 所以所求直线l的方程为2x－5y－10＝0，或8x－5y＋20＝0. 2.求通过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且距原点为1的直线方程． 解:　法一：过两条直线交点的直线系方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.① ∵原点到直线的距离为1，即＝1，解得λ2＝9， ∴λ＝±3.代入方程①中， 得所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0. 法二：由方程组 解得两条直线的交点为A(1,3)． ①当斜率存在时，设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0. ∵原点到直线的距离为1，即 ＝1，∴|3－k|＝，∴k＝ . ∴直线方程为y－3＝(x－1)，即4x－3y＋5＝0. ②当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1也符合题意． 故所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0. 2.求通过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且距原点为1的直线方程． 常见的直线系有： (1)过已知点P(x0，y0)的直线系y－y0＝k(x－x0)(k为参数)． (2)斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b(b为参数)． (3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，λ≠C)． (4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)． (5)过直线：A1x＋B1y＋C1＝0与：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 3.两条直线的位置关系 1.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 分析　对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解； 对于(2)，先得出关于a，b的关系，再由原点到l1，l2的距离相等求解． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)＝0，即a2－