专题09 几何探究题（精选30题）【好题汇编】-2024年中考数学一模试题分类汇编（湖北专用）

专题09 几何探究题（精选30题） 1．（2024•谷城县一模）（1）【问题探究】如图1，点F是正方形ABCD边BC上一点，射线AF交对角线BD于点E，交DC的延长线于点G．证明：AE2＝EG•EF； （2）【知识迁移】如图2，点F是平行四边形ABCD边BC上一点，射线AF交对角线BD于点E，交DC的延长线于点G，证明：AE2＝EG•EF； （3）【拓展应用】如图3，AD是△ABC的中线，点E是AD上一点，过点C作CG∥AB，连接BE并延长交AC于点F，交CG于点G，若FG＝3EF，求AF：FC的值． 2．（2024•茅箭区一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． 理解： （1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为　 　； 证明： （2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D． 求证：四边形ABCD是对余四边形； 探究： （3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 3．（2024•恩施市校级一模）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点． （1）观察猜想： 图1中，线段MN与NP的数量关系是　 ，∠MNP的大小是 　 　； （2）探究证明： 把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，试说明理由； （3）拓展延伸： 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请直接写出△MNP面积的最大值． 4．（2024•湖北一模）问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1），在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作△ACD关于点D中心对称的图形，其中点A的对应点是点M．请你帮助小明完成画图和后面的解答． 尝试运用：如图（2），AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°．试判断线段AD与EF的关系，并加以证明． 迁移拓展：如图（3），AD是△ABC的中线，k．∠BAE＝∠CAF＝90°．直接用含k的代数式写出△AEF与△ACD之间的面积关系． 5．（2024•咸丰县一模）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF． （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AFAE； （3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB＝4，CE＝4，求线段AE的长． 6．（2024•孝感一模）【问题情境】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上的高，点E是DB上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于F，交CD于点G． （1）【特例证明】如图1，当k＝1时，求证：DG＝DE； （2）【类比探究】如图2，当k≠1时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时DG与DE的数量关系，并说明理由； （3）【拓展运用】如图3，连接DF，若k，AC＝AE，DG＝3，求DF的长． ． 7．（2024•恩施市校级一模）【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点． 【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是 　 ，位置关系是 　 　． （2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由． （3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围． 8．（2024•孝南区一模）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，若点D在BC边上运动时，总保持∠ADE＝∠B，连接CE，DE与AC交于点F． （1）①如图1，当点D为BC边中点时，则的值为 　 　； ②如图2，当点D不为BC边中点时，求证：CE＝BD； （2）如图3，当点D在BC边上运动中恰好使得AE∥BC时，若AB＝5，BC＝6，求DF的长． 9．（2024•湖北一模）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△AB