第1章 专题1 运动图像 追及相遇问题（word教参）-【导学教程】2025年物理新编高考大一轮总复习（人教版）

专题一　运动图像　追及相遇问题[对应学生用书第9页] 题型1　运动图像的理解和应用 1．x­t图像 (1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。 (2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向。 (3)图例。 2．v­t图像 (1)物理意义：反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律。 (2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向。 (3)“面积”的意义 ①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移。 ②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向。 (4)图例。 　(2023·辽宁丹东统考二模)甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动，其速度随时间变化的规律分别如图中a、b所示，图线a是直线，图线b是抛物线，0～t2时间内图线a、b与横轴围成的面积之比是3∶2，抛物线顶点的横坐标为t2，下列说法正确的是(　　) A．0～t1时间内甲、乙的距离一直在减小 B．0～t1时间内乙的平均速度等于 C．0～t2时间内乙的加速度一直小于甲的加速度 D．0～t3时间内甲、乙的位移大小相等 [解析]　v­t图像中，图线与时间轴围成的面积表示位移，由题图可知0～t1时间内甲、乙的距离一直在增大，故选项A错误；假设乙是做匀变速直线运动，则在0～t1时间内满足＝，但图线b是抛物线，则在0～t1时间内平均速度大于，故选项B错误；v­t图像中，图像的斜率代表加速度，由图可知初始阶段乙的加速度大于甲的加速度，故选项C错误；由题图可知t2是0～t3的中间时刻，根据匀变速直线运动规律可知甲在0～t2的位移是t2～t3的3倍，0～t2时间内图线a、b与横轴围成的面积之比是3∶2，根据数学方法可知，0～t3时间内甲、乙的位移大小相等，故选项D正确。 [答案]　D 　一个物块在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀加速直线运动，计时开始的­t图像如甲所示，v2­x图像如图乙所示，据图像的特点与信息分析，下列说法正确的是(　　) A．x＝1 m时物体的速度为8 m/s B．图乙的斜率是图甲的斜率的2倍 C．图甲中的y＝8 m/s D．t＝1 s时物体的速度为4 m/s [解析]　当x＝1 m由图乙可知v2＝8 m2/s2，解得v＝2 m/s，故选项A错误；由初速度为0的匀加速直线运动规律可得x＝at2，即＝t，可得图甲的斜率为k甲＝＝，由v2＝2ax可知图乙的斜率为k乙＝2a＝8，解得a＝4 m/s2，则k乙＝4k甲，图甲中的y＝4 m/s，故选项B、C错误；t＝1 s时物体的速度为v′＝at＝4 m/s，故选项D正确。 [答案]　D 　(2023·北京延庆统考期中)摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的。已知电梯在t＝0时由静止开始上升，a­t图像如图所示。由图像可知(　　) A．电梯在第1秒内做匀加速运动，加速度大小为1 m/s2 B．电梯在第1秒末到第10秒末之间的位移大小为19 m C．电梯匀减速运动的位移大小为10 m D．电梯从第11秒末到第30秒末做匀速运动，速度大小为10 m/s [解析]　根据题图可知，电梯在第1秒内做加速度逐渐增大的加速运动，且1 s末的加速度大小为1 m/s2，故选项A错误；根据题图可知，电梯在第1秒末到第10秒末之间做加速度a＝1 m/s2的匀加速直线运动，则由图像可得该时间段内速度的变化量为Δv2＝(10－1)×1 m/s＝9 m/s，而电梯在第1秒内速度的变化量Δv1＝1×1× m/s＝0.5 m/s，即可知电梯在1 s末的速度为v1＝0.5 m/s，在10 s末的速度为v2＝Δv1＋Δv2＝9.5 m/s，则根据平均速度法可得电梯在第1秒末到第10秒末之间的位移大小为x＝t＝×9 m＝45 m，故选项B错误；根据题图可知，电梯在31 s～40 s内做匀减速运动，根据题图的对称性可知，电梯匀减速运动的位移大小与匀加速直线运动位移的大小相等，为45 m，故选项C错误；根据题图的对称性可知，10 s～11 s这段时间内速度的变化量Δv3＝Δv1＝0.5 m/s，则可知11 s末电梯的速度v3＝Δv2＋Δv3＝10 m/s，而根据题图可知，电梯从第11秒末到第30秒末加速度为零，则可知电梯在这段时间内以10 m/s的速度做匀速直线运动，故选项D正确。 [答案]　D 解决图像类问题的方法 1．(2023·全国甲卷)一小车沿直线运动，从t＝0开始由静止匀加速至t＝t1时刻，此后做匀减速运动，到t＝t2时刻速度降为零。在下列小车位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是(　　) 解析　x­t图像的斜率表示速度，小车先做匀加速运动，因此速度变大即0～t1图像斜率变大，t1～t2做匀减速运动则图像的斜率变小，在t2时刻停止，则图像的斜率变为零。故选D。 答案　D 2.如图所示是某物体做直线运动的v2­x图像(其中v为速度，x为位置坐标)，下列关于物体从x＝0外运动至x＝x0处的过程分析，其中正确的是(　　) A．该物体做匀加速直线运动 B．该物体的加速度大小为 C．当该物体的速度大小为v0时，位移大小为x0 D．当该物体的位移大小为x0时，速度大小为v0 解析　由匀变速直线运动的速度—位移关系公式v2－v02＝2ax可得v2＝2ax＋v02，可知物体的加速度恒定不变，由于物体的速度减小，故物体做匀减速直线运动，选项A错误；由v2＝2ax＋v02知，v2­x图像的斜率绝对值等于2a，由图可知2a＝，则得物体的加速度大小为a＝，选项B错误；当该物体速度大小为v0时，v2＝v02，可得x＝x0，选项C正确；当该物体位移大小为x0时，可得v2＝v02，v＝v0，选项D错误。 答案　C 3．(多选)(2023·湖北卷)t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0。在0～3t0时间内，下列说法正确的是(　　) A．t＝2t0时，P回到原点 B．t＝2t0时，P的运动速度最小 C．t＝t0时，P到原点的距离最远 D．t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同 解析　质点在0～t0时间内从静止出发先做加速度增大的加速运动再做加速度减小的加速运动，此过程一直向前加速运动，t0～2t0时间内加速度和速度反向，先做加速度增加的减速运动再做加速度减小的减速运动，2t0时刻速度减速到零，此过程一直向前做减速运动，2t0～4t0重复此过程的运动，即质点一直向前运动，选项A、C错误，B正确；a­t图像的面积表示速度变化量，～t0内速度的变化量为零，因此时刻的速度与t0时刻相同，选项D正确。 答案　BD 题型2　追及相遇问题 1．两类追及问题 (1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。 (2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。 2．两类相遇问题 (1)同向运动的两物体追上时即相遇。 (2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 3．图例 常见情景：物体A追物体B，开始两者相距x0 (1)A追上B时，必有xA＝x0＋xB，且vA≥vB； (2)恰好不相撞，必有xA＝x0＋xB时vA＝vB，之后vA≤vB； (3)A追不上B时，必有vA＝vB时，xA<x0＋xB，之后vA≤vB。 　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。 (1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ (2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度大小是多少？ [提示] 一题多解 [解析]　　(1)法一　根据速度关系和位移关系求解 汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度恒定。当汽车的速度小于自行车的速度时，两者间的距离将越来越大，而一旦汽车的速度增加到超过自行车的速度，两车间的距离就将缩小，因此两者速度相等时两车相距最远。由v汽＝at＝v自得t＝＝2 s，Δxmax＝v自t－at2＝6 m。 法二　用数学求极值方法求解 设汽车在追上自行车之前经时间t两车相距最远。 有Δx＝v自t－at2＝6t－＝－(t－2)2＋6 (上式所有物理量均采用国际单位制单位) 由二次函数求极值的条件知，t＝2 s时，Δx最大，Δxmax＝6 m。 法三　用图像法求解 自行车和汽车的v­t图像如图所示，由图可以看出：相遇之前，在t0时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(横线阴影部分面积)最大，所以，t0＝＝2 s，Δxmax＝×2×6 m＝6 m。 (2)由上图可以看出：在t0时刻以后，由汽车的v­t图线与自行车的v­t图线组成的三角形面积(竖线阴影部分面积)与横线阴影部分的面积相等时，两车的位移相等，所以由图线的数学关系可得相遇时t′＝2t0＝4 s，v汽′＝2v自＝12 m/s。 [答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s 　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时汽车前方16.5 m处一辆自行车以6 m/s的速度匀速向前行驶。若汽车加速到最大速度15 m/s后以该速度做匀速运动，汽车经多长时间追上自行车？ 解析　汽车的速度达到15 m/s需要时间为t0 v＝at0，t0＝＝5 s 在这5 s内 汽车行驶距离x1＝at02＝×3×52 m＝37.5 m 自行车行驶距离x自＝v自·t0＝30 m 此时30 m＋16.5 m>37.5 m，故汽车没追上自行车 设再经时间t1汽车追上自行车 vt1＝(30＋16.5) m－37.5 m＋v自t1 解得t1＝1 s 即汽车追上自行车的时间t2＝t0＋t1＝6 s。 答案　6 s 解答追及和相遇问题的两点技巧 1.甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v­t图像如图所示。已知两车在t＝3 s时相遇，则(　　) A．在t＝1 s时，甲车在乙车后面 B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C．两车另一次相遇的时刻是t＝2 s D．两车两次相遇的位置之间沿公路方向的距离为45 m 解析　根据速度—时间图线与横轴围成图形的面积表示位移可知，在1～3 s时间内两车位移相等，已知两车在t＝3 s时相遇，所以在t＝1 s时，甲车和乙车也相遇，选项A、C错误；在0～1 s时间内，甲车的位移为x1＝5 m，乙车的位移为x2＝12.5 m，则在t＝0时，甲车在乙车前Δx＝x2－x1＝7.5 m，选项B正确；在1～3 s时间内两车位移相等，甲车的位移是x＝×2 m＝40 m，所以两车两次相遇的位置之间沿公路方向的距离为40 m，D错误。 答案　B 2．国产新型磁悬浮列车甲、乙(都可视为质点)分别处于两条平行轨道上，开始时(t＝0)，乙车在前，甲车在后，两车间距为x0，t＝0时甲车先启动，t＝3 s时乙车再启动，两车启动后都是先做匀加速运动后做匀速运动，两车运动的v­t图像如图所示。下列说法正确的是(　　) A．两车加速过程中，甲车的加速度比乙车大 B．由运动的v­t图像可知，无论x0取何值，甲、乙两车7 s末一定相遇 C．若x0＝130 m，则两车间的距离最小为30 m D．从甲车运动开始计时到7 s末，甲车的平均速度小于乙车的平均速度 解析　根据速度图像的斜率表示加速度，知两车加速过程的加速度分别为a甲＝ m/s2＝8 m/s2，a乙＝ m/s2＝10 m/s2，可得甲车的加速度比乙车小，故选项A错误；由运动的v­t图像可知，在第7 s末两车的速度相等，而图像与t轴的面积表示位移，可知到7 s末两车通过的路程为x甲＝×40×5 m＋40×(7－5) m＝180 m，x乙＝×40×(7－3) m＝80 m，x甲－x乙＝100 m，可知只有x0＝100 m时，甲、乙两车7 s末才相遇，故选项B错误；由图像知当两车速度相等时间距最小，即知t＝7 s时两车间间距最小，此时间距为Δs＝x乙＋x0－x甲＝30 m，故选项C正确；从甲车运动开始计时到7 s末，甲车平均速度甲＝＝ m/s＝ m/s，乙车的平均速度乙＝＝ m/s＝ m/s，甲车的平均速度大于乙车的平均速度，故选项D错误。 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $$