11章 数学建模（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．高考命题常以函数、数列、立体几何、解析几何、概率与统计为载体构建模型解决相关的数学文化、社会热点等问题，常以选择题、填空题形式出现，有时也出现在解答题中，意在考查数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养． [对应学生用书P252] 考点一　函数模型 角度1　二次函数、分段函数模型 　某景区提供自行车出租服务，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分). (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解析]　(1)当x≤6时，y＝50x－115， 令50x－115＞0，解得x＞2.3， ∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z. 当x＞6时， y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115. 令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0， 结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z. ∴y＝ (2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)， 显然当x＝6时，ymax＝185； 对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋(6＜x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270. ∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． 二次函数和分段函数模型的选取及应用策略 (1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是正相关或负相关或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解． (2)实际问题中的面积问题、利润问题、产量问题等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值、单调性、零点等知识将实际问题解决． (3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车的计费与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． 角度2　指数、对数函数模型 　(1)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现v＝k ln (k＞0).当v＝0.5 m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800，则当v＝1.5 m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为(　　) A．12 800　　　　　　　 B．24 800 C．25 600 D．51 200 (2)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽车费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元． [解析]　(1)因为v＝0.5 m/s时，Q＝800，所以0.5＝k ln ＝3k ln 2，解得k＝， 所以v＝1.5 m/s时，1.5＝ln ， 即ln ＝9ln 2＝ln 29， 所以＝29，解得Q＝51 200.故选D. (2)设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0. 令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点，故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． [答案]　(1)D　(2)4 指数(对数)函数模型的解题技巧 指数、对数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指数与对数运算，灵活进行指数与对数的互化． 角度3　三角函数模型 　(2023·浙江嘉兴考前冲刺)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知某摩天轮的转盘直径为110米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为80米，摩天轮逆时针匀速旋转，每30分钟转一圈．若摩天轮上点P的起始位置在最低点处，则下列说法错误的是(　　) A．经过10分钟，点P上升了82.5米 B．在第10分钟和第40分钟时点P距离地面的高度相同 C．摩天轮旋转一周的过程中，点P距离地面的高度不低于55米的时间大于20分钟 D．点P从第5分钟至第10分钟上升的高度是其从第10分钟到第15分钟上升的高度的2倍 [解析]　由已知得P点从最低处开始，转动时间与其距地面高度的关系可以用正弦型函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b(A，ω＞0)表示． ∵每30分钟转一圈，∴最小正周期T＝＝30，∴ω＝. ∵摩天轮直径为110米，∴振幅A＝110÷2＝55. ∵摩天轮中心距地面80米，∴b＝80. 将P(0，25)代入可得55sin φ＋80＝25， ∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，取φ＝－. 故f(t)＝55sin ＋80(t≥0). 对于A项，经过10分钟，则f(10)＝107.5＝82.5＋25，故点P上升了82.5米，故A正确； 对于B项，周期为30分钟，40分钟比10分钟正好多一个周期，故距离地面高度相同，故B正确； 对于C项，当旋转5分钟时，f(5)＝55sin ＋80＝52.5＜55，此时P距离地面52.5米，从而高度低于55米的时间大于10分钟，即不低于55米的时间小于20分钟，故C错误； 对于D项，f(10)－f(5)＝107.5－52.5＝55，f(15)－f(10)＝80＋55－107.5＝27.5，故D正确． [答案]　C 三角函数在实际问题中的求解策略 (1)在读题时把问题提供的“条件”逐个地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程． (2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题． 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，经过t秒后盛水筒M运动到点P(x，y)，点P的纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)，当t＝0时，盛水筒M位于点P0(3，－3)处，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为________． 解析　因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以T＝＝120，得ω＝，所以y＝f(t)＝R sin ，因为当t＝0时，盛水筒M位于点P0(3，－3)处，所以R＝＝6，所以f(t)＝6sin .因为f(0)＝－3，所以6sin φ＝－3，得sin φ＝－，因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(t)＝6sin ，所以f(100)＝6sin ＝6sin ＝－6sin ＝－6×＝－3，所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为－3. 答案　－3 考点二　数列模型 　(2021·新高考全国卷Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么k＝________ dm2. [解析]　对折4次可得到如下规格： dm×12 dm， dm×6 dm，5 dm×3 dm，10 dm× dm，20 dm× dm，共5种； 由题意可得S1＝2×120，S2＝3×60，S3＝4×30，S4＝5×15，…，Sn＝， 设S＝＋＋＋…＋， 则S＝＋＋…＋＋， 两式作差得S＝240＋120－＝240＋－ ＝360－－＝360－， 因此，S＝720－＝720－. [答案]　5　720－ 数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、减薄率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题．这就要求同学们除熟练运用有关概念公式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度．解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题． 去年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是________． 解析　设每个30分钟增加的人数构成数列{an}， 则a1＝2＝2－0，a2＝4－1，a3＝8－2，a4＝16－3，a5＝32－4，…，an＝2n－(n－1). 设数列{an}的前n项和为Sn，依题意，只需求 S11＝(2－0)＋(22－1)＋(23－2)＋…＋(211－10)＝(2＋22＋23＋…＋211)－(1＋2＋…＋10) ＝－＝212－2－55＝212－57＝4 039. 答案　4 039 考点三　解析几何模型 　“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器．假设“嫦娥五号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥五号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥五号”到月球表面最远的距离为(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ [解析]　椭圆的离心率e＝∈(0，1)，设卫星近月点、远月点离月球表面的距离分别为r，n， 则n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝＋.故选B. [答案]　B 解决圆锥曲线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系； (2)设出合适的圆锥曲线的标准方程； (3)通过计算求出圆锥曲线的标准方程； (4)求出需要求出的量； (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题． 如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为20米，则该双曲线的离心率为________． 解析　如图，以冷却塔的轴截面的最窄处CD所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知|CD|＝2a＝40，所以a＝20， 设A(25，m)(m＞0)，F(20，－70＋m)， 所以解得 所以c2＝a2＋b2＝400＋1 600＝2 000， 所以e＝＝＝. 答案　 考点四　概率与统计模型 　3D打印(3DP)是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可黏合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．随着技术不断成熟，3D打印在精密仪器制作中应用越来越多．某企业向一家科技公司租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这台3D打印设备打印出品的零件内径(单位：μm)X服从正态分布N(105，36). (1)若该台3D打印设备打印了100件这种零件，记X表示这100件零件中内径指标值位于区间(111，117)的产品件数，求E(X)； (2)该科技公司到企业安装调试这台3D打印设备后，试打了5件零件，度量其内径(单位：μm)，分别为86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？ 参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 3. [解析]　(1)由题意知，μ＝105，σ＝6， 则111＝μ＋σ，117＝μ＋2σ， 一件产品的内径指标值位于区间(111，117)的概率即为P(μ＋σ＜X＜μ＋2σ)， 因为P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7， P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5， 所以P(μ＋σ＜X＜μ＋2σ)＝[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9， 所以X～B(100，0.135 9)， 所以E(X)＝100×0.135 9＝13.59. (2)X服从正态分布N(105，36)， 则μ－3σ＝105－18＝87，μ＋3σ＝105＋18＝123， 由于P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 3， 所以内径在(87，123)之外的概率为0.002 7，为小概率事件，而86∉(87，123)，且＞0.002 7，根据3σ原则，设备异常，需要进一步调试． 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现． 现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球． (1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率； (2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出i(i＝1，2，3)个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为Ei(X).证明：E1(X)＋E3(X)＝4. (1)解析　由题意可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为P＝＝. (2)证明　当i＝1时，X的可能取值是2，3，4， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， 则E1(X)＝2×＋3×＋4×＝. 当i＝3时，X的取值可能是0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 则E3(X)＝0×＋1×＋2×＝. 故E1(X)＋E3(X)＝4. 考点五　数学模型的拟合 　某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%. (1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和的范围； (2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由． [解析]　(1)y＝f(x)的定义域是[10，1 000]，值域是(0，9]，∈(0，0.2]. (2)当y＝＋2时，＝＋的最大值是>0.2，不符合公司的要求． 当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.由≤0.2.可知y－0.2x≤0. 令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10，1 000]，则g′(x)＝<0，所以g(x)在[10，1 000]上单调递减，所以g(x)≤g(10)＝－1<0， 即≤0.2. 故函数y＝41g x－3符合公司的要求． 解决数学模型拟合问题的步骤 (1)求或确定拟合函数解析式： ①分析验证法：逐一分析所给函数模型的性质，代入题目所给数据，选出符合题设条件的模型； ②描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据所给数据作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，求出拟合函数解析式． (2)利用求出的拟合函数，根据条件提出问题的预测和控制，为决策和管理提供依据． 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：min)的函数关系，要求如下：(ⅰ)函数的图象接近图示；(ⅱ)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(ⅲ)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；(ⅳ)每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y＝kx＋b(k＞0)；②y＝k·1.2x＋b(k＞0)；③y＝klog2＋n(k＞0). (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； (2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天得分不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟(结果保留整数). 解析　(1)对于模型①，当k＞0时，匀速增长； 对于模型②，当k＞0时，先慢后快增长； 对于模型③，当k＞0时，先快后慢增长． 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型， 故选y＝klog2＋n(k＞0). (2)将(0，0)，(30，3)代入解析式得到 即解得 即y＝3log2－3. 当x＝90时，y＝3log2(6＋2)－3＝6， 满足每天得分最高不超过6分的条件． 所以函数的解析式为 y＝ (3)由y＝3log2－3≥4.5，log2≥2.5＝log22， 得＋2≥2＝4≈5.657，得x≥54.855， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $$