8.6 双曲线（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

8．6　双曲线 课标要求 考情分析 1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 考点考法：高考中对双曲线的考查形式有两种：一是根据题设条件求双曲线的标准方程，二是通过双曲线的标准方程得出双曲线的基本量的取值，常以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在解答题中． 核心素养：数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P189] 1．双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线　　 __F1，F2__为双曲线的焦点； __|F1F2|__为双曲线的焦距 ＝2a 2a＜|F1F2| [导学点清]　(1)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；(2)当2a＞|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 __F1(－c，0)，F2(c，0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ 焦距 |F1F2|＝__2c__ 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：__原点__ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段__A1A2__，长：__2a__；虚轴：线段__B1B2__，长：__2b__；实半轴长：__a__，虚半轴长：__b__ 离心率 e＝∈__(1，＋∞)__ 渐近线 __y＝±x__ __y＝±x__ a，b，c关系 c2＝__a2＋b2__(c＞a＞0，c＞b＞0) 1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A．－1＜k＜5　　　　　 B．k＞5 C．k＜－1 D．k≠－1或5 解析　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得k＜－1. 答案　C 2．已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线说法正确的是(　　) A．虚轴长为4 B．焦距为2 C．离心率为 D．渐近线方程为2x±3y＝0 解析　双曲线方程为－＝1，可得虚轴长为6，实轴长为4，离心率e＝，渐近线方程为2x±3y＝0.故选D. 答案　D 3．(忽视双曲线焦点的位置致误)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1或－＝1 C.－＝1 D．－＝1或－＝1 解析　设双曲线方程为－＝1(m≠0)， ∵2a＝4，∴a2＝4， 当m＞0时，2m＝4，m＝2； 当m＜0时，－m＝4，m＝－4. 故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 答案　D 4．(忽视双曲线定义的条件致误)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1(x≥4) C．－＝1 D．－＝1(x≥3) 解析　由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C.又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为－＝1(x≥3). 答案　D 5．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________． 解析　根据双曲线的定义得＝8，因为|PF1|＝9， 所以|PF2|＝1或17. 又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 答案　17 1．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. 2．巧设双曲线方程 (1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0). 1．与双曲线C：－y2＝1共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析　根据题意，设要求的双曲线为－y2＝t(t≠0)，由双曲线经过点，得－＝t，解得t＝2，则要求双曲线的标准方程为－＝1.故选A. 答案　A 2．若双曲线C的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，P(，1)为C上一点，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为___________________________． 解析　因为一个焦点到一条渐近线的距离为2，所以b＝2， 故可知所以 故双曲线的标准方程为－＝1. 答案　－＝1 [对应学生用书P191] 考点一　双曲线的定义及应用(一题多变　师生共研) 　(1)已知双曲线C：－＝1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为(3，1)，则|MD|－|MF1|的最大值为(　　) A．3　　　　　　　　　 B．1 C．－3 D．－2 (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________． [解析]　(1)双曲线C的实半轴长为a＝2，右焦点为F2(3，0)， 所以|MD|－|MF1|＝|MD|－(|MF2|＋2a) ＝(|MD|－|MF2|)－2a≤|F2D|－2a ＝－4＝－3， 当且仅当M为DF2的延长线与双曲线交点时等号成立．故选C. (2)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4， 则cos ∠F1PF2＝ ＝＝. [答案]　(1)C　(2) (变条件、变结论)在本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？ 解析　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝，∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 双曲线定义应用的两个方面 1．已知动点M(x，y)满足－＝4，则动点M的轨迹是(　　) A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 解析　设F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线，故选A. 答案　A 2．已知F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为(　　) A．16 B．18 C．8＋4 D．9＋ 解析　因为F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P是C的右支上的一点，所以|PF1|＝|PF2|＋4， 所以＝＝＝|PF2|＋＋8≥2＋8＝16，当且仅当|PF2|＝，即|PF2|＝4时，等号成立； 因为c＝＝，所以c－a＝－2＜4， 所以|PF2|＝4成立，所以的最小值为16.故选A. 答案　A 考点二　双曲线的标准方程(重难考点　师生共研) 　(1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则双曲线C的标准方程为(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　) A．－＝1(x＞2) B．－＝1(x＞3) C．＋＝1(0＜x＜2) D．＋＝1(0＜x＜3) [解析]　(1)因为焦距为2，所以半焦距为，故a2＋b2＝5，因为P(2，1)在C的一条渐近线上，故×2＝1，解得a＝2，b＝1，故双曲线C的标准方程为－y2＝1. (2)如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F， 则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝5－1＝4. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞2). [答案]　(1)A　(2)A 求双曲线标准方程的常用方法 (1)定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”．如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn＞0)，再根据条件求解． 1．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 解析　由e＝＝2，得c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案　A 2．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________． 解析　设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ＞0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 答案　－＝1 考点三　双曲线的几何性质(多维探究　师生共研) 角度1　双曲线的离心率 　(1)(2024·九省联考)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D． (2)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(，＋∞) [解析]　(1)∵O为AB的中点，也是F1F2的中点，∴四边形AF2BF1为平行四边形，|F1B|＝|F2A|＝2|F1A|，又|F2A|－|F1A|＝2a，∴|F1A|＝2a，|F2A|＝4a，·＝·＝－·＝－2a·4a cos ∠F1AF2＝－8a2cos ∠F1AF2＝4a2，∴cos ∠F1AF2＝－，在△AF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos ∠F1AF2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·＝28a2，即4c2＝28a2，∴e＝＝，故选D. (2)双曲线的渐近线方程为y＝±x，由极限思想，设过F1且与一条渐近线平行的直线l的方程为y＝(x＋c)，即bx－ay＋bc＝0. 依题意，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则点F2到直线l的距离大于a， 即d＝＞a，所以2b＞a，所以＞，e＝＝＝＞＝， 即e∈.故选B. [答案]　(1)D　(2)B 求双曲线离心率(或其取值范围)的两种常用方法 角度2　双曲线的渐近线 　(1)已知双曲线C：－＝1的离心率为2，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x (2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________． [解析]　(1)由已知可得＝22，所以m2＝1， 所以C的渐近线方程为y＝±x＝±x. 故选D. (2)双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±，即x±my＝0， 不妨取x＋my＝0.圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1， 依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1，解得m＝或m＝－(舍去). [答案]　(1)D　(2) 求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法 [注意]　两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称． 1．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 解析　由e＝，则＝＝1＋＝5， 解得＝2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x， 则圆心(2，3)到渐近线的距离d＝＝， 所以弦长|AB|＝2＝2＝. 答案　D 2．F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，O为坐标原点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，且|OP|＝a，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0 解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 因为 所以mn＝4c2－4a2＝4b2，所以m2＋n2＝4c2＋4b2， 又cos ∠POF1＋cos ∠POF2＝0， 即＋＝0， 所以m2＋n2＝2c2＋20a2，所以c2＋2b2＝10a2， 又c2＝a2＋b2，所以b2＝3a2，所以＝， 所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0.故选B. 答案　B 3．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________． 解析　若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan ＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan ＝，a＝b，可得c＝a，则e＝.综上可得e＝2或e＝. 答案　2或 学科网（北京）股份有限公司 $$